Matrici: identificare righe o colonne dipendenti
Ciao a tutti,
Vorrei capire se c'è un metodo standard piuttosto furbo per determinare esattamente QUALI righe/colonne di una matrice (di qualunque dimensione) sono linearmente dipendenti.
Il rango mi da solo un'informazione generale, da esso posso capire se la matrice è composta o meno da righe/colonne linearmente indipendenti. A me interessa trovare esattamente quali righe/colonne sono linearmente dipendenti.
Io uso il seguente metodo che è comodo per matrici piccole:
data la matrice $ A=( ( 1 , 2 , -1 ),( 1 , -1 , 2 ),( 0 , 3 , 3 ) ) $ ;
uso l'algoritmo di estrazione di una base: Verifico se la terza colonna è combinazione lineare delle prime due colonne, ovvero, verifico se $A^(3)in Span(A^(1),A^(2))$
$( ( -1 ),( 2 ),( 3 ) )=lambda ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) +mu ( ( 2 ),( -1 ),( 3 ) ) $
Quindi risolvo il sistema: $ { ( -1=lambda+2mu ),( 2=lambda-mu ),( -3=3mu ):}$ e trovo che il sistema ha soluzione: ${ ( lambda=1 ),( mu=-1 ):}$
Di conseguenza la terza colonna è linearmente dipendente della prime due con i rispettivi coefficienti $lambda$ e $mu$ trovati.
Ora verificherei con lo stesso metodo se la seconda colonna è linearmente dipendente dalla prima.. (non lo faccio perchè il procedimento è uguale a prima).
Risulta che la prima e seconda colonna sono linearmente indipendenti. Quindi il rango di A è $rg(A)=2$
___________
Ora, se la matrice di partenza A fosse una 4x4, questo procedimento risulta dispendioso.. si può ovviamente usare il metodo degli orlati per trovare il rango della matrice, ma come posso "identificare" esattamente quali righe e/o le colonne sono linearmente dipendenti? Alcune volte risulta evidente ad occhio, ma ho notato che mi sfuggono spesso quindi mi piacerebbe imparare un metodo sicuro, se esiste.
Esempio: $A=( ( 1 , -2 , 1 , -1 ),( 2 , -4 , 3 , 1 ),( 3 , -6 , 4 , 0 ),( 1 , -2 , 2 , 3 ) ) $ ; E' facile trovare il rango: $rg(A)=3$ , ma qual'è la riga/colonna lin. dip.?
Saluti
Vorrei capire se c'è un metodo standard piuttosto furbo per determinare esattamente QUALI righe/colonne di una matrice (di qualunque dimensione) sono linearmente dipendenti.
Il rango mi da solo un'informazione generale, da esso posso capire se la matrice è composta o meno da righe/colonne linearmente indipendenti. A me interessa trovare esattamente quali righe/colonne sono linearmente dipendenti.
Io uso il seguente metodo che è comodo per matrici piccole:
data la matrice $ A=( ( 1 , 2 , -1 ),( 1 , -1 , 2 ),( 0 , 3 , 3 ) ) $ ;
uso l'algoritmo di estrazione di una base: Verifico se la terza colonna è combinazione lineare delle prime due colonne, ovvero, verifico se $A^(3)in Span(A^(1),A^(2))$
$( ( -1 ),( 2 ),( 3 ) )=lambda ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) +mu ( ( 2 ),( -1 ),( 3 ) ) $
Quindi risolvo il sistema: $ { ( -1=lambda+2mu ),( 2=lambda-mu ),( -3=3mu ):}$ e trovo che il sistema ha soluzione: ${ ( lambda=1 ),( mu=-1 ):}$
Di conseguenza la terza colonna è linearmente dipendente della prime due con i rispettivi coefficienti $lambda$ e $mu$ trovati.
Ora verificherei con lo stesso metodo se la seconda colonna è linearmente dipendente dalla prima.. (non lo faccio perchè il procedimento è uguale a prima).
Risulta che la prima e seconda colonna sono linearmente indipendenti. Quindi il rango di A è $rg(A)=2$
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Ora, se la matrice di partenza A fosse una 4x4, questo procedimento risulta dispendioso.. si può ovviamente usare il metodo degli orlati per trovare il rango della matrice, ma come posso "identificare" esattamente quali righe e/o le colonne sono linearmente dipendenti? Alcune volte risulta evidente ad occhio, ma ho notato che mi sfuggono spesso quindi mi piacerebbe imparare un metodo sicuro, se esiste.
Esempio: $A=( ( 1 , -2 , 1 , -1 ),( 2 , -4 , 3 , 1 ),( 3 , -6 , 4 , 0 ),( 1 , -2 , 2 , 3 ) ) $ ; E' facile trovare il rango: $rg(A)=3$ , ma qual'è la riga/colonna lin. dip.?
Saluti
Risposte
In termini un pelino più formali, tu vuoi trovare una base dello spazio generato dalle righe della tua matrice. C'è un metodo standard ed è l'eliminazione di Gauss. Riduci la tua matrice in forma a scalini e vedi quali righe hanno i pivot non nulli. Quelle righe sono una base del tuo spazio vettoriale.
Grazie mille ad entrambi! ora mi sono chiare più cose 
In specifico, Sergio:
Ho capito perfettamente il metodo per ridurre la matrice a scala
ma non mi è chiaro come a partire dai pivot, scelgo le colonne l.i. nella matrice originaria. Potresti spiegarmelo? Grazie.
Nella matrice che hai scritto i pivot sono 1 , 1 , 1 se non sbaglio.
In specifico, Sergio:
"Sergio":
E se fossi un po' testardo?
a) Riduci per righe, individui i pivot, scegli poi le colonne della matrice originaria corrispondenti ai pivot. Quelle colonne sono l.i.
Ho capito perfettamente il metodo per ridurre la matrice a scala
ma non mi è chiaro come a partire dai pivot, scelgo le colonne l.i. nella matrice originaria. Potresti spiegarmelo? Grazie.Nella matrice che hai scritto i pivot sono 1 , 1 , 1 se non sbaglio.
Ahh perfetto ora ho capito grazie mille!
grazie mille!
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