Prodotto scalare Standard e Non
Qualcuno può spiegarmi la differenza in modo semplice e chiaro (magari con un esempio) tra prodotto scalare standard e prodotto scalare ?
So che il prodotto scalare standard è la funzione:
$ < > : R^n * R^n rarr R $
mentre nulla trovo sul mio libro riguardo il prodotto scalare non euclideo
So che il prodotto scalare standard è la funzione:
$ < > : R^n * R^n rarr R $
mentre nulla trovo sul mio libro riguardo il prodotto scalare non euclideo
Risposte
Quello che hai scritto è impreciso, direi sbagliato.
Il prodotto scalare su di uno spazio vettoriale \(\mathbf{V}\), sul campo reale[nota]Nel caso complesso si ha invece una forma sesquilineare, simmetrica definita positiva.[/nota], è una forma bilineare, simmetrica e definita positiva.
Quindi, ogni funzione \(g : \mathbf{V} \times \mathbf{V} \to \mathbf{V}\) che soddisfi le suddette proprietà è un prodotto scalare.
La notazione è delle più varie: \(g(\cdot,\cdot)\), \((\cdot,\cdot)\), \(\langle \cdot,\cdot \rangle\), \(< \cdot,\cdot >\).
Nello specifico, sullo spazio vettoriale \(\mathbb{R}^n\) possiamo definire diversi prodotti scalari. Per il teorema di rappresentazione delle forme bilineari essi saranno tutti della forma:
\[g(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbf{x}^T \mathrm{B} \mathbf{y}\]
con A matrice simmetrica definita positiva.
Nel caso particolare \(\mathrm{B} = \mathrm{I}\) otteniamo:
\[g(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbf{x}^T \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i\]
che viene chiamato prodotto scalare standard o prodotto euclideo.
Questo risponde alla tua domanda: prendi una matrice simmetrica definita positiva e otterrai un prodotto scalare non standard su \(\mathbb{R}^n\).
Se vuoi farci qualche esperimento mettiti in \(\mathbb{R}^2\) e poni ad esempio:
\[g(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbf{x}^T \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}\mathbf{y} = 2x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 3 x_2y_2\]
e fai un po' di conti
Il prodotto scalare su di uno spazio vettoriale \(\mathbf{V}\), sul campo reale[nota]Nel caso complesso si ha invece una forma sesquilineare, simmetrica definita positiva.[/nota], è una forma bilineare, simmetrica e definita positiva.
Quindi, ogni funzione \(g : \mathbf{V} \times \mathbf{V} \to \mathbf{V}\) che soddisfi le suddette proprietà è un prodotto scalare.
La notazione è delle più varie: \(g(\cdot,\cdot)\), \((\cdot,\cdot)\), \(\langle \cdot,\cdot \rangle\), \(< \cdot,\cdot >\).
Nello specifico, sullo spazio vettoriale \(\mathbb{R}^n\) possiamo definire diversi prodotti scalari. Per il teorema di rappresentazione delle forme bilineari essi saranno tutti della forma:
\[g(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbf{x}^T \mathrm{B} \mathbf{y}\]
con A matrice simmetrica definita positiva.
Nel caso particolare \(\mathrm{B} = \mathrm{I}\) otteniamo:
\[g(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbf{x}^T \mathbf{y} = \sum_{i=1}^n x_i y_i\]
che viene chiamato prodotto scalare standard o prodotto euclideo.
Questo risponde alla tua domanda: prendi una matrice simmetrica definita positiva e otterrai un prodotto scalare non standard su \(\mathbb{R}^n\).
Se vuoi farci qualche esperimento mettiti in \(\mathbb{R}^2\) e poni ad esempio:
\[g(\mathbf{x},\mathbf{y}) = \mathbf{x}^T \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3\end{pmatrix}\mathbf{y} = 2x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 3 x_2y_2\]
e fai un po' di conti
Non avevo scritto le proprietà per risparmiare tempo XD chiedo venia per ciò 
un ultima domanda la matrice in genere viene fornita o dipende dai vettori ?
un ultima domanda la matrice in genere viene fornita o dipende dai vettori ?
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