Rango e Nucleo con riduzione di Gauss
Salve,
Ho questa matrice:
$M = ((1,2,5),(0,1,2),(1,0,3))$
e voglio trovare il nucleo e il rango della trasformazione lineare $R^3 -> R^3$ rappresentata rispetto alla base canonica della matrice $M$.
Ora ho ragionato così:
Il rango di M ($Rk(M)$) dovrebbe essere uguale alla dimensione dell'immagine della trasformazione lineare ($dim(Im(T))$) che è uguale al numero di Pivot della matrice $M$ ridotta con Gauss.
Quindi ho ridotto $M$ con Gauss e mi è uscito:
$M' = ((1,2,5),(0,1,2),(0,0,2))$
da cui il numero di Pivot mi sembra essere $2$ ($1$ e $1$), quindi concludo che $Rk(M) = 2$.
Ora sfruttando il teorema nullità più rango che dice: $dim(V) = dim(Im(T)) + dim(Ker(T))$ dove T è la trasformazione lineare, posso dire che $dim(V) = 3$ perchè sono in $R^3$, $dim(Im(T))=2$ perchè corrisponde al rango quindi $dim(Ker(T)) = 3-2 = 1$.
Il problema è che dovrebbe uscire $3$ come rango e quindi $0$ come nucleo.
Cosa sto sbagliando?
Grazie
Ho questa matrice:
$M = ((1,2,5),(0,1,2),(1,0,3))$
e voglio trovare il nucleo e il rango della trasformazione lineare $R^3 -> R^3$ rappresentata rispetto alla base canonica della matrice $M$.
Ora ho ragionato così:
Il rango di M ($Rk(M)$) dovrebbe essere uguale alla dimensione dell'immagine della trasformazione lineare ($dim(Im(T))$) che è uguale al numero di Pivot della matrice $M$ ridotta con Gauss.
Quindi ho ridotto $M$ con Gauss e mi è uscito:
$M' = ((1,2,5),(0,1,2),(0,0,2))$
da cui il numero di Pivot mi sembra essere $2$ ($1$ e $1$), quindi concludo che $Rk(M) = 2$.
Ora sfruttando il teorema nullità più rango che dice: $dim(V) = dim(Im(T)) + dim(Ker(T))$ dove T è la trasformazione lineare, posso dire che $dim(V) = 3$ perchè sono in $R^3$, $dim(Im(T))=2$ perchè corrisponde al rango quindi $dim(Ker(T)) = 3-2 = 1$.
Il problema è che dovrebbe uscire $3$ come rango e quindi $0$ come nucleo.
Cosa sto sbagliando?
Grazie
Risposte
Il rango di quella matrice è certamente 3. Cosa intendi con il numero di pivot?
Comunque hai sbagliato a calcolare la riduzione di Gauss:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad
\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad
\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
Comunque hai sbagliato a calcolare la riduzione di Gauss:
\(\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad
\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -2 \end{pmatrix} \quad \Rightarrow \quad
\begin{pmatrix}1 & 2 & 5 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
Io sapevo che il rango corrisponde al numero di Pivot nella matrice ridotta a scala con Gauss.
Per Pivot si intende il primo elemento non nullo che si incontra sulla riga della matrice ridotta a scala, leggendola da sinistra verso destra.
Nel mio esempio se conto i pivot trovo 2 e non 3
Per Pivot si intende il primo elemento non nullo che si incontra sulla riga della matrice ridotta a scala, leggendola da sinistra verso destra.
Nel mio esempio se conto i pivot trovo 2 e non 3
Io ne conto 3, gli elementi della diagonale della matrice M' (in quel caso) sono tutti pivots.
Ah non sapevo che in una matrice ridotta a scala i pivots si contano considerando anche la colonna $b'$ del sistema risultante $A'x = b'$ dove in questo caso $b' = (5,2,2)$ (che in realtà volevo scrivere come vettore colonna)
Io uso il termine pivot in modo lievemente diverso, e probabilmente ti confonderei se te lo spiegassi. Comunque il rango corrisponde banalmente al numero di righe non nulle della matrice ridotta (per righe o colonne, è identico). Comunque se ho capito il significato che usi tu, è corretto anche il tuo: i pivot sono \(\{ 1, 1, 2 \}\).
Se tu aggiungi la colonna allora devi calcolare anche il rango con quella colonna. D'altra parte, il fatto che il rango cambi influisce sull'esistenza delle soluzioni.
Se tu aggiungi la colonna allora devi calcolare anche il rango con quella colonna. D'altra parte, il fatto che il rango cambi influisce sull'esistenza delle soluzioni.
Quindi nel modo in cui uso io pivot penso che non ho considerato che siccome la risultante della riduzione di Gauss è una matrice "a scalini" allora devo considerare tutta la diagonale e quindi tutti gli elementi != 0 nella diagonale della matrice risultante $M'$ e perciò viene effettivamente 3 come dicevi tu.
Magari attendo qualcuno che mi conferma che sto utilizzando ora la nozione di pivot come lo conosco io in modo corretto.
Comunque ora mi è più chiaro grazie!
Magari attendo qualcuno che mi conferma che sto utilizzando ora la nozione di pivot come lo conosco io in modo corretto.
Comunque ora mi è più chiaro grazie!
Comunque devi calcolare il rango sia con che senza \(b'\): se il rango della matrice completa \(b'\) è maggiore di quella senza allora il sistema è impossibile. Ti suggerisco di dare un'occhiata a questa discussione sulla risoluzione dei sistemi viewtopic.php?f=37&t=79095
In ogni caso
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]
Non avevo notato che era nella sezione sbagliata.
In ogni caso
[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]
Non avevo notato che era nella sezione sbagliata.
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