Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Data l'applicazione lineare $f:R^3->R^3 : f(x,y,z)=(6y,x+z,x+z)$
i) calcolare una base di $ker(f)$ ed una base di $im(f)$
ii) calcolare autovalori ed autospazi di $f$
iii) dire se $f$ è diagonalizzabile e scrivere una base di $R^3$ formata da autovettori di $f$
i) ho scritto la matrice associata all'applicazione lineare e l'ho ridotta a gradini
$ ( ( 0 , 6 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) -> ( ( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 6 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
Per determinare una base ho scelto le colonne dove sono presenti i ...
Domanda di teoria:
Esistono altri spazi vettoriali, diversi da $R^3$, che abbiano dimensione $3$ ?
(se si, scrivere un esempio)
(se no, dire perchè)
Vorrei sapere se ho svolto bene dal momento che non ho i risultati :
Fissato nello spazio un riferimento monometrico ortogonale si considerino la rette r contenente i punti A(1,0,1) e B(0,1,0) , il piano alfa di equazione 2y-z+3=0 e il punto P(0,1,1).
a) determinare l'equazione del piano contenente r, ortogonale ad alfa.
AB=(-1,1,-1)
r:{x=1-t
y=t
z=1-t}
{x+y-1=0
y+z-1=0
ndr(110
011) l=1, m=1,n=1 v(1,1,1)
w=(0,2,-1)
$ | ( x-1 , y , z-1 ),( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 2 , -1 ) | $
l'equazione del piano ---> ...
Date le matrici $A$ e $B$ di un'applicazione lineare $f$ rispetto a basi diverse esse sono simili.
Ma si intende che sono simili solo quando vengono usate due basi diverse (una per dominio e codominio di $A$ e l'altra per dominio e codominio di $B$) per le matrici diverse?
Cioè date le basi $e$ e $w$ si ha che $ M_e^e(f) $ è simile a $M_w^w(f)$, ma è vero anche ad esempio che ...
vale sempre $dim(R^n)=n$ ?
quando vale? e quando non vale?
una base di $R^n$ deve avere $n$ vettori giusto? (e ogni vettore è composto da $n$ elementi ? )
Salve ragazzi qualcuno può darmi uno spunto nel risolvere questo esercizio?
Fissato un RCMO si considerino la retta $ r $ di equazioni $\{(2x+y=0),(2x+z-1=0):} $
e il piano $\pi$ di equazione $ \pi: y-z=0 $
Mi chiede " Rappresentare, se esiste, una Retta del Piano $\pi$ parallela alla retta $r$
Ed ho anche la risposta :
$\{(2x+y=0),(y-z=0):} $
Come si fa ad arrivare a quella conclusione? Grazie mille
Salve a tutti,
Tra pochi giorni dovrò sostenere l'esame di algebra e geometria e mi sto esercitando con alcuni esercizi di algebra e geometria solo che non sono sicuro del mio svolgimento poiché non conosco i risultati. Vorrei perciò chiedervi di verificare l'esercizio che mi appresto a riportarvi. Grazie.
Nello spazio vettoriale euclideo canonico R^4 si considerino i seguenti sottospazi ...
Salve
Vi prego di aiutarmi in questa faccenda...Come da titolo sono alle prese con questo problema.
In particolare devo verificare che gli autospazi generati dai corrispettivi autovettori di una matrice $ A_(3xx3) $ sono invarianti rispetto alle matrici $ B_(3xx3) $ , $ C_(3xx3) $ e $ D_(3xx3) $
Io in generale so che un sottospazio $ U $ dello spazio vettoriale di $ A_(3xx3 $ (o se vogliamo del corrispettivo endomorfismo) è invariante rispetto a ...
Calcolare una base del nucleo e dell'immagine:
$f:R2[x]->R^2:f(ax^2+bx+c) = (a-c,b-2a)$
ho provato a svolgerlo così:
$ ( ( 1 , 0 , -1 ),( -2 , 1 , 0 ) ) -> ( ( 1 , 0 , -1 ),( 0 , 1 , -2 ) ) $
quindi ho preso le colonne dove ci sono i pivot per determinare una base dell'immagine $-> {(1,-2),(0,1)}$
e mi trovo che $dim(ker(f))=0$ quindi non ha senso cercare una base.
E' corretto? dove ho sbagliato?
Non riesco a trovare gli autovalori di questa matrice
$ ( ( 2-\lambda , -2 , 0 ),( -2 , 2-\lambda , -2 ),( 0 , -2 , 0-\lambda ) ) $
il polinomio mi viene così : $\lambda^3-4\lambda^2-4\lambda+8=0$
Ciao, devo verificare quale di queste 3 applicazioni lineari sia un isomorfismo:
a) $F: R^3 -> R^3$ definita da $F(x,y,z)=(x-z,x+2y-z,x-4y-z)$
b) $F: R^3 -> R^2$ definita da $F(x,y,z)=(2x-z,x-y+z)$
c) $F: R^3 -> R^3$ definita da $F(e_1)=2e_1+e_2$, $F(e_2)=3e_1-e_3$, $F(e_3)=e_1-e_2-e_3$
Mi viene che solo la a) è un isomorfismo in quanto è l'unica ad essere biunivoca, cioè sia suriettiva che iniettiva.
Mentre per la b) è immediato verificare perché non può mai essere iniettiva (per via della dimensione del ...
Ciao, ho questo esercizio che non so risolvere, mi aiutate?
Si verifichi che in $RR^3$ i seguenti insiemi sono basi:
$B1={(1,2,4),(1,5,5),(3,3,1)}$
$B2={(1,5,6),(-3,7,2),(1,4,1)}$
e si trovi la matrice di passaggio da $B1$ a $B2$.
Per verificare che sono basi mi basta metterli a matrice e calcolare con gauss se sono linearmente indipendenti, ma per la matrice di passaggio?
La matrice di passaggio posso calcolarla anche se non sono base?
Grazie.
Domanda di teoria:
Scrivere le condizioni che deve soddisfare un sistema lineare affinchè l'insieme delle sue soluzioni sia sottospazio.
Salve vorrei avere un piccolo chierimento sul significato geometrico della trasformazione che porta una conica in forma canonica. dal punto di vista algebrico.. è chiaro significa rendere l'equazione in quella forma specifica , ma vorrei capire geometricamente cosa significa se ad esempio significa ruotare e traslare la conica in modo tale da portarla sul nostro sistema o cosa non mi è per niente chiaro ... grazie per l'aiuto
Ciao a tutti, precedendo nel determinare l'equazione canonica della seguente conica (mediante il metodo degli invarianti):
$ 5x^2 + 5y^2 - 6xy +16sqrt(2)x - 38 = 0 $,
scrivo la seguente equazione:
$ 4x^2 + y^2 = 1 $;
mi chiedo come faccio a determinare se tale equazione è corretta, piuttosto che: $ x^2 +4 y^2 = 1 $ ? Oppure le due espressioni sono equivalenti (notare il coefficiente della $ x $ e della $ y $?
Grazie in anticipo
Ciao ragazzi mi aiutate a capire lo svolgimento dei seguenti quesiti? Grazie mille
Stabilire se i vettori u=(1,0,2,1), v=(0,1,1,-1), w=(1,-1,1,2) sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti usando:
a) La definizione
b) Le trasformazioni elementari
c) Detta A la matrice che ha per colonne i tre vettori dire, senza fare ulteriori calcoli, quanto vale il rango di A
d) Detta A la matrice che ha per colonne i tre vettori trovare l’inversa di A usando i complementi algebrici e le ...
Scrivere un'applicazione lineare $T: R^3->R^2 : (1,6,0) $ appartenga al nucleo di $T$
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $5$; siano $U$ e $W$ due sottospazi di $V$ entrambi di dimensione $3$. Determinare $dim$ $(U$ $nn$ $W)$.
Allora per la relazione di grassmann $dim(U+W)=dim(U)+dim(W)-$ $dim$ $(U$ $nn$ $W)$
io conosco la dimensione di $U$ e $W$. Quindi ...
Salve a tutti
Mi trovo a dover risolvere un esercizio e avendo perso gran parte delle lezioni sul tema non so da che parte cominciare.
Mi viene chiesto di studiare il sottospazio di R2 con la topologia euclidea :
X = {(x, y) ∈ R 2| (x^2 − y + 1)*(x^2 + y − 1) = 0}.
In particolare devo capire se è connesso, compatto e di Hausdorf, e stesse domande sul suo complementare.
Ora il dubbio è che non so come trattare lo spazio a partire da quella equazione. Altri quesiti che non so risolvere ...
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