Equazione conica tangente gli assi e passante per un punto
Salve,
ho questo esercizio da risolvere:
determinare la conica tangente gli assi x,y rispettivamente nei punti (2,0), (0,3) e passante per il punto P(-1,3).
Ho pensato di procedere così:
1) mettere a sistema la conica generica $a_11 x^2 + 2a_12 xy + a_22 y^2 + 2a_01 x + 2a_02 y + a_00 = 0$ e l'asse x e imporre il passaggio per (2,0), ottengo l'equazione della conica in funzione di 2 parametri:
${-4_01 - a_00} / 4 x^2 + 2a_01 x + a_00 = 0$
2) mettere a sistema la conica generica $a_11 x^2 + 2a_12 xy + a_22 y^2 + 2a_01 x + 2a_02 y + a_00 = 0$ e l'asse y e imporre il passaggio per (0,2), ottengo l'equazione della conica in funzione di 2 parametri:
${-6_02 - a_00} / 9 y^2 + 2a_02 y + a_00 = 0$
3) ora prendo queste due equazioni ottenute e impongo $ Delta = 0$ per cui ottengo: $a_02 = - a_00 / 3$ dalla prima e $a_01 = - a_00 / 2$ dalla seconda.
A questo punto posso dire che: $a_02 = 2 / 3 a_01$
Ora non so come procedere a sfruttare il passaggio per il punto P.
Inoltre non sono sicuro del procedimento che ho adottato.
Come posso risolvere l'esercizio secondo voi? Il mio metodo può essere corretto?
Grazie
ho questo esercizio da risolvere:
determinare la conica tangente gli assi x,y rispettivamente nei punti (2,0), (0,3) e passante per il punto P(-1,3).
Ho pensato di procedere così:
1) mettere a sistema la conica generica $a_11 x^2 + 2a_12 xy + a_22 y^2 + 2a_01 x + 2a_02 y + a_00 = 0$ e l'asse x e imporre il passaggio per (2,0), ottengo l'equazione della conica in funzione di 2 parametri:
${-4_01 - a_00} / 4 x^2 + 2a_01 x + a_00 = 0$
2) mettere a sistema la conica generica $a_11 x^2 + 2a_12 xy + a_22 y^2 + 2a_01 x + 2a_02 y + a_00 = 0$ e l'asse y e imporre il passaggio per (0,2), ottengo l'equazione della conica in funzione di 2 parametri:
${-6_02 - a_00} / 9 y^2 + 2a_02 y + a_00 = 0$
3) ora prendo queste due equazioni ottenute e impongo $ Delta = 0$ per cui ottengo: $a_02 = - a_00 / 3$ dalla prima e $a_01 = - a_00 / 2$ dalla seconda.
A questo punto posso dire che: $a_02 = 2 / 3 a_01$
Ora non so come procedere a sfruttare il passaggio per il punto P.
Inoltre non sono sicuro del procedimento che ho adottato.
Come posso risolvere l'esercizio secondo voi? Il mio metodo può essere corretto?
Grazie
Risposte
nessuna idea?
Non capisco bene che cosa hai fatto, perché non puoi aver già usato 4 condizioni e aver solo due equazioni.
Le condizioni di appartenenza dei tre punti alla conica dove sono? Dovrebbero darti le altre 3 condizioni. E con 6 parametri, ma 5 condizioni omogenee dovresti trovare la conica. Quello che NON puoi fare è prendere uno dei coefficienti e annullarlo di testa tua. Saebbe semplice ottenere una soluzione: basta annullare tutti i coefficienti, le equazioni sono soddisfatte, ma quello che si ottiene non è una conica.
PS con un bel po' di conti mi viene $x^2+5/3xy+4/9y^2-4x-8/3y+4=0$
Le condizioni di appartenenza dei tre punti alla conica dove sono? Dovrebbero darti le altre 3 condizioni. E con 6 parametri, ma 5 condizioni omogenee dovresti trovare la conica. Quello che NON puoi fare è prendere uno dei coefficienti e annullarlo di testa tua. Saebbe semplice ottenere una soluzione: basta annullare tutti i coefficienti, le equazioni sono soddisfatte, ma quello che si ottiene non è una conica.
PS con un bel po' di conti mi viene $x^2+5/3xy+4/9y^2-4x-8/3y+4=0$
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