Esercizio di topologia

[Feliciano_Sagaio]

Salve a tutti
Mi trovo a dover risolvere un esercizio e avendo perso gran parte delle lezioni sul tema non so da che parte cominciare.
Mi viene chiesto di studiare il sottospazio di R2 con la topologia euclidea :

X = {(x, y) ∈ R 2| (x^2 − y + 1)*(x^2 + y − 1) = 0}.
In particolare devo capire se è connesso, compatto e di Hausdorf, e stesse domande sul suo complementare.

Ora il dubbio è che non so come trattare lo spazio a partire da quella equazione. Altri quesiti che non so risolvere riguardano la semplice connessione di un sottospazio sempre descritto da un'equazione in R2 o il R3.Ad esempio:

-Si consideri il sottospazio di R3(con la topologia euclidea) cosı definito:
X = {(x, y, z) ∈ R3| (x^2 + y^2 + z^2 − 4)*(z^2 − 1) = 0}.

Si dimostri che X `e semplicemente connesso.

Qual è la strategia standard per capire le proprietà fondamentali di uno spazio a partire da una equazione?
Vi sarei grato se poteste anche solo darmi un'indicazione, che strada seguire, poi provo a procedere da solo...mi manca proprio l'idea di partenza!Grazie mille in anticipo.

[Trilogy]

Beh.. Se vuoi solo un input, ti consiglierei di capire il "senso" dell'equazione. Il primo degli insiemi che hai scritto, il sottoinsieme di $\mathbb R^2$, è l'unione di due parabole. Sei d'accordo?

Forse questo l'hai capito, e il tuo problema è come funzioni la topologia euclidea su questo sottospazio? Per questo sarebbe meglio rileggere la definizione. Se te la sei persa, eccola.

Sia $(X,\tau)$ uno spazio topologico e sia $A$ un sottoinsieme di $X$. Allora la topologia indotta da $\tau$ su $A$ è $$\tau_A:=\{U\cap A\mid U\in \tau\}.$$

[Feliciano_Sagaio]

Ti ringrazio. Il mio problema era proprio il senso dell'equazione, l'ho guardata pensando a chissà cosa ma ora che me lo fai notare, per la legge di annullamento del prodotto è proprio l'unione di due parabole che tra l'altro, hanno come unico punto in comune P(0,1). Quindi: lo spazio è connesso, dato che le parabole sono insiemi connessi e con intersezione non vuota l'unione è connessa per il teorema.
Non è compatto perché per Heine-Borèl compattezza ----> limitatezza in R2, E' di Hausdorff in quanto sottospazio di uno spazio di Hausdorff. Corretto? Le ultime due considerazioni valgono pure per il complementare, mentre per quanto riguarda la connessione del complementare osservo che gli insiemi y>x^2 + 1 , y<-x^2 +1 , -x^2+1

Cita

Segnala

[Trilogy]

Direi che è tutto giusto!

[Feliciano_Sagaio]

Per quanto riguarda :
4. Si consideri il sottospazio di R3(con la topologia euclidea) cos`ı definito:X = {(x, y, z) ∈ R3| (x^2 + y^2 + z^2 − 4)(z^2 − 1) = 0}.
Si dimostri che X `e semplicemente connesso.

L'insieme è l'unione della sfera di raggio 2 con i piani z=1 e z=-1.
Pensavo di usare Van Kampen e trovare i due aperti semplicemente connessi con intersezione non vuota connessa per archi, e pensavo di considerare due calotte che si intersecano, ma come dimostro che le calotte unite al piano sono semplicemente connesse?Il piano è convesso quindi semplicemente connesso, la calotta è semplicemente connessa e hanno intersezione non vuota connessa per archi però il piano non è un aperto di R3...

[Frink1]

Il Teorema di Seifert Van Kampen si semplifica quando consideri due aperti entrambi semplicemente connessi:

Dati $A,B$ semplicemente connessi tali che $A \cup B = X$ e $A \cap B \ne \emptyset$ connessa per archi allora $X$ è semplicemente connesso.
Non ti serve sapere se $A \cap B$ è semplicemente connessa in questo caso molto particolare.

Per gli aperti usa una delle due carte della sfera, e un disco aperto del piano. Il ragionamento lo applichi due volte, prima per un piano, e poi per l'altro...

[Feliciano_Sagaio]

Ma come mai il disco aperto nel nostro sottospazio è un aperto?Cioè, intendo un disco che interseca la sfera.Se lo prendo esterno alla sfera mi è chiaro che sia un aperto (è intersezione di una bolla aperta in R3 e del piano)però non mi pare sia molto utile...

[Feliciano_Sagaio]

Stesso problema con :

4. Si consideri il sottospazio di R3(con la topologia euclidea) così definito:
X = {(x, y, z) ∈ R3| (x^2 + y^2 + (z − 1)^2 − 1)(x^2 + z^2)z = 0}.
(a) Si dimostri che X `e semplicemente connesso.

Lo spazio è l'unione della sfera di centro P(0 0 1) con il piano z=0.

Ora però non so se devo semplicemente applicare Seifert Van Kampen e quindi il problema sta solo nel trovare i due aperti che soddisfano le ipotesi del teorema, oppure è implicata qualche altra proprietà degli spazi semplicemente connessi che mi sfugge...

Un esercizio simile è quello del Manetti, es. 11.17 della seconda edizione: Calcolare il gruppo fondamentale del sottospazio X di R3 unione della sfera S2 e dei tre piani coordinati. L'autore suggerisce di considerare il sottospazio X come unione dei due aperti :

A = {x $ in $ X tc ||x||>0 } e B = {x $ in $ X tc ||x||<1}

A e B sono aperti con intersezione non vuota connessa per archi, ma rimane da mostrare che A e B sono semplicemente connessi, e mi sembra che le possibilità siano : o applico Van Kampen di nuovo su A e B, ma in questo caso non saprei che aperti considerare, oppure ci sono delle considerazioni topologiche da fare (es. omeomorfismi o equivalenza topologica)ma anche qui non saprei come muovermi, non so se conviene mostrare direttamente tali proprietà o utilizzare metodi indiretti (e quali?). Esistono metodi standard per la risoluzione di questo tipo di problemi topologici?

[Feliciano_Sagaio]

Up!non mi da pace questo esercizio