Dimensione sottospazio generato da matrici nxn
Ciao, ho questo esercizio:
Considerato il sottoinsieme di \(\displaystyle M_2(R) \) \(\displaystyle W \)=${A in M_2(R) | a-2b=0; b-1/2d=0}$ dire se W è sottospazio di \(\displaystyle M_2(R) \) ed in caso affermativo se ne calcoli la dimensione.
Ora, svolgendo il sistema dato dalle due equazioni so che W è definito da tutte le matrici della forma $ ((d,1/2d), (c,d))$
Per trovare la dimensione cosa faccio? Posso concludere che è di dimensione 2 in quanto la matrice è definita da due "parametri liberi", cioè c e d?
Grazie.
Considerato il sottoinsieme di \(\displaystyle M_2(R) \) \(\displaystyle W \)=${A in M_2(R) | a-2b=0; b-1/2d=0}$ dire se W è sottospazio di \(\displaystyle M_2(R) \) ed in caso affermativo se ne calcoli la dimensione.
Ora, svolgendo il sistema dato dalle due equazioni so che W è definito da tutte le matrici della forma $ ((d,1/2d), (c,d))$
Per trovare la dimensione cosa faccio? Posso concludere che è di dimensione 2 in quanto la matrice è definita da due "parametri liberi", cioè c e d?
Grazie.
Risposte
Ciao.
Premetto che non ho verificato i conti effettuati, ma se il sottospazio $W$ fosse definibile da matrici del tipo
$((d,1/2d), (c,d))$, con $c,d in RR$
allora si avrebbe
$((d,1/2d), (c,d))=c((0,0), (1,0))+d((1,1/2), (0,1))$
Quindi, siccome le matrici $((0,0), (1,0))$ e $((1,1/2), (0,1))$ sono chiaramente linearmente indipendenti, allora varrebbe $dimW=2$ e l'insieme
${((0,0), (1,0)),((1,1/2), (0,1))}$
costituirebbe, effettivamente, una base di $W$.
Il discorso dei "parametri liberi" aiuta a dare un'idea della situazione, ma è sempre meglio verificare che gli elementi che generano un sottospazio vettoriale siano effettivamente linearmente indipendenti.
Saluti.
Premetto che non ho verificato i conti effettuati, ma se il sottospazio $W$ fosse definibile da matrici del tipo
$((d,1/2d), (c,d))$, con $c,d in RR$
allora si avrebbe
$((d,1/2d), (c,d))=c((0,0), (1,0))+d((1,1/2), (0,1))$
Quindi, siccome le matrici $((0,0), (1,0))$ e $((1,1/2), (0,1))$ sono chiaramente linearmente indipendenti, allora varrebbe $dimW=2$ e l'insieme
${((0,0), (1,0)),((1,1/2), (0,1))}$
costituirebbe, effettivamente, una base di $W$.
Il discorso dei "parametri liberi" aiuta a dare un'idea della situazione, ma è sempre meglio verificare che gli elementi che generano un sottospazio vettoriale siano effettivamente linearmente indipendenti.
Saluti.
Presumo che la prof in effetti non si accontenterebbe della mia spiegazione stringata e vorrebbe i conti, mi dimentico sempre questo "trucco" della separazione dei parametri 
Ma così, in linea del tutto teorica, potrebbe succede che in una situazione analoga ci si trovi di fronte a due matrici linearmente dipendenti?
Grazie.
Ma così, in linea del tutto teorica, potrebbe succede che in una situazione analoga ci si trovi di fronte a due matrici linearmente dipendenti?
Grazie.
"EveyH":
Ma così, in linea del tutto teorica, potrebbe succede che in una situazione analoga ci si trovi di fronte a due matrici linearmente dipendenti?
Dipende da come viene posta la definizione del sottospazio $W$ dato; in ogni caso la verifica dell'indipendenza lineare è immediata, almeno nel caso di due matrici.
Saluti.
"alessandro8":
in ogni caso la verifica dell'indipendenza lineare è immediata, almeno nel caso di due matrici.
Saluti.
Perché basta vedere se non sono una multipla dell'altra?
Ciao, grazie.
Esatto.
Proprio per questo motivo sostenevo che la verifica è immediata.
Saluti.
Proprio per questo motivo sostenevo che la verifica è immediata.
Saluti.
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