Diagonalizzabilità

[asder83]

Studiare la diagonalizzabilità della matrice: $ ( ( 1 , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $
Se la matrice è diagonalizzabile, determinarne una base di autovettori.

con il metodo di Sarrus ho cercato il determinante:
$ {: ( 1-\lambda , -1 , 0 , 1-\lambda , -1 , 0 ),( -1 , 1-\lambda , 0 , -1 , 1-\lambda , 0 ),( 0 , 0 , 2-\lambda , 0 , 0 , 2-\lambda ) :} $
e mi trovo $2\lambda^2-3\lambda-2=0$
ho applicato ruffini:
$(\lambda-2)(\lambda+1)=0$
quindi i due autovalori sono $\lambda=-1$ e $\lambda=2$
ho calcolato la molteplicità algebrica di entrambi gli autovalori e la loro somma è $1+1=2$ e ne ho dedotto che la matrice non è diagonalizzabile.
E' esatto? cosa ho sbagliato?

[Sk_Anonymous]

Attenzione, il polinomio caratteristico dovrebbe essere di terzo grado, perchè la matrice data era di ordine tre.

Ricontrolla i conti.

Saluti.

[asder83]

adesso mi trovo $\lambda(\lambda-2)=0$

[Sk_Anonymous]

"chry11":adesso mi trovo $ \lambda(\lambda-2)=0 $

...quindi non ci siamo ancora.

Saluti.

[asder83]

$\lambda^3-4\lambda^2+4\lambda=0$
con ruffini : $(\lambda^2-2\lambda)(\lambda-2)$ ovvero ?

[Sk_Anonymous]

Ho svolto i conti; a me viene (salvo errori):

$P(lambda)=-lambda(2-lambda)^2$.

Saluti.

[asder83]

$(\lambda^2-2\lambda)(\lambda-2)$
come proseguo per trovare gli autovalori?

[asder83]

è giusto dire che $\lambda=2$ è l'unico autovalore di tale matrice : $ ( ( 1 , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ ???
ed ha moltiplicità algebrica $= 3$

[Sk_Anonymous]

"chry11":$ (\lambda^2-2\lambda)(\lambda-2) $
come proseguo per trovare gli autovalori?

Raccogli $lambda$ a fattor comune nel primo fattore e applica la legge di annullamento del prodotto, dopo aver uguagliato a zero il polinomio.

Dovresti ottenere: $lambda=0$ e $lambda_{1,2}=2$.

Saluti.

[asder83]

l'autovettore per $\lambda=0$ è $(1,1,0)$ e la dimensione dell'autospazio è $1$

l'autovettore per $\lambda=2$ è $(-1,1,0)$ e la dimensione dell'autospazio è $1$

è corretto?

[Gold D Roger]

"chry11":è giusto dire che $\lambda=2$ è l'unico autovalore di tale matrice : $ ( ( 1 , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ ???
ed ha moltiplicità algebrica $= 3$

Ciao, data una matrice quadrata simmetrica la sua traccia (cioè la somma degli elementi della diagonale principale) è uguale alla somma degli autovalori. La traccia della tua matrice è 4, mentre la somma degli autovalori da te ipotizzati è 6.

I EDIT:

"chry11":l'autovettore per $\lambda=0$ è $(1,1,0)$ e la dimensione dell'autospazio è $1$

l'autovettore per $\lambda=2$ è $(-1,1,0)$ e la dimensione dell'autospazio è $1$

è corretto?

Ad occhio e croce sì.

II EDIT:
Quindi, ricapitolando hai, se i calcoli son tutti giusti
$lambda=0$ con $Alg(0)=1$ e $ g_0 =1$
$lambda=2$ con $Alg(2)=2$ e $ g_2 =1$;
La tua matrice è diagonalizzabile?

[Sk_Anonymous]

"chry11":l'autovettore per $\lambda=0$ è $(1,1,0)$ e la dimensione dell'autospazio è $1$

l'autovettore per $\lambda=2$ è $(-1,1,0)$ e la dimensione dell'autospazio è $1$

è corretto?

A me vengono questi risultati:

1) $lambda=0 Rightarrow V_0=mathcalL{(1,1,0)} Rightarrow dimV_0=1$

2) $lambda_{1,2}=2 Rightarrow V_2=mathcalL{(1,-1,0),(0,0,1)} Rightarrow dimV_2=2$

Saluti.

[asder83]

per $\lambda=0$ mi trovo $(1,1,0)$
per $\lambda=2$ mi trovo $(-1,1,0),(0,0,1)$

$(-1,1,0)$ esce fuori da $y(-1,1,0)$ visto che $ { ( x=-y ),( z=0 ):} $

[Sk_Anonymous]

"chry11":per $ \lambda=0 $ mi trovo $ (1,1,0) $
per $ \lambda=2 $ mi trovo $ (-1,1,0),(0,0,1) $

$ (-1,1,0) $ esce fuori da $ y(-1,1,0) $ visto che $ { ( x=-y ),( z=0 ):} $

Attenzione, per $lambda=2$ la terza equazione del sistema risulta $2z=2z$, che è un'identità, quindi sono ammissibili tutti i valori reali di $z$, non solo il valore nullo.

Saluti.

[asder83]

ho due domande da porti:
1) per $ \lambda=2 $ mi trovo $ (-1,1,0),(0,0,1) $
tu invece ti trovi $ (1,-1,0),(0,0,1) $

quali dei due è corretto?

2) il testo dell'esercizio mi dice: se la matrice è diagonalizzabile, determinarne una base di autovettori.
a me risulta che la matrice sia diagonalizzabile, e gli autovettori non sono quelli che ho già trovato? che devo trovare più?

[Gold D Roger]

"alessandro8":[quote="chry11"]
$ (-1,1,0) $ esce fuori da $ y(-1,1,0) $ visto che $ { ( x=-y ),( z=0 ):} $

Attenzione, per $lambda=2$ la terza equazione del sistema risulta $2z=2z$, che è un'identità, quindi sono ammissibili tutti i valori reali di $z$, non solo il valore nullo.

Saluti.[/quote]
Uh... che sbadato, mi era sfuggito; grazie.

Quindi, visto che non hai autovalori distinti, devi verificare che $g_2 =2=Alg(2)$, quindi la matrice è diagonalizzabile (cosa che già sapevi in quanto la matrice è simmetrica, ma in questo modo puoi verificare sempre se i calcoli siano giusti o meno ).

EDIT:

"chry11":
1) per $ \lambda=2 $ mi trovo $ (-1,1,0),(0,0,1) $
tu invece ti trovi $ (1,-1,0),(0,0,1) $

$(1,-1,0)$, $(-1,1,0)$ Sono la stessa cosa, prova a moltiplicare uno dei due per $-1$ .

Ciao ciao!

[Sk_Anonymous]

"Gold D Roger":Uh... che sbadato, mi era sfuggito; grazie.

Succede a tutti, di tanto in tanto; nessun problema.

"chry11":
per $ \lambda=2 $ mi trovo $ (-1,1,0),(0,0,1) $
tu invece ti trovi $ (1,-1,0),(0,0,1) $

quali dei due è corretto?

Vanno bene entrambe le formulazioni, poichè si ha

$mathcalL{(-1,1,0),(0,0,1)}=mathcalL{(1,-1,0),(0,0,1)}$.

Infatti il vettore $(-1,1,0)$ è opposto a $(1,-1,0)$.

Saluti.

[asder83]

2) il testo dell'esercizio mi dice: se la matrice è diagonalizzabile, determinarne una base di autovettori.
a me risulta che la matrice sia diagonalizzabile, e gli autovettori non sono quelli che ho già trovato? che devo trovare più?

[Sk_Anonymous]

"chry11":il testo dell'esercizio mi dice: se la matrice è diagonalizzabile, determinarne una base di autovettori.
a me risulta che la matrice sia diagonalizzabile, e gli autovettori non sono quelli che ho già trovato?

Infatti è proprio così.

Saluti.