Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao ragazzi stavo facendo alcuni esercizi sulle forme bilineari che vi scrivo di seguito ma non ho capito alcune richieste. Potreste aiutarmi?
$Esercizio 1$
Si consideri la forma bilineare $varphi:R^4xR^4 ->R$ definita come segue:
$varphi(x,y)=x_1y_1+x_1y_3+x_3y_1-x_2y_2-x_3y_3+2x_4y_4$ per ogni x,y
(1) Determinare la matrice $A$ associata a $varphi$ rispetto ad una base a scelta.
(2) Determinare $kerA$
$Esercizio 2$
Consideriamo nello spazio vettoriale reale $R^3$, riferito ...
Salve a tutti signori/e, chiedo il vostro aiuto perché mi è stato presentato un problema di geometria che mi sta facendo impazzire e non riesco a venirne a capo perché, sicuramente, mi sfugge qualcosa.
Sia f: R³ -> R³ l'endomorfismo di R³ tale che (1,1,-1) è un autovettore di f relativo all'autovalora 2, (0,1,1) è un autovettore di f relativo all'autovalore 1 e f(0,1,0) = (1,2,-1)
Esplicitare l'espressione di f(x,y,z) e scrivere la matrice A associata a f rispetto alla base canonica di R³
io ...
Ciao, avrei alcuni problemi con un tipo di esercizio che no mi riesce risolvere....
data la quadrica $z=(5/4)x^2-((sqrt3)/2)xy+(7/4)y^2 $
la devo ridurre in forma canonica...
so che lo devo fare con autovalori e autovettori e svolgendo la matrice dove nella diagonale sommo -λ ottengo i seuenti valori di $\lambda:\lambda=0,\lambda=4,\lambda=8$
adesso ottengo tre casi...però da qui in avanti ho solo molta confuzione in testa...come fare?
Ciao,
avrei bisogno di qualcuno che mi spieghi i passaggi di questa dimostrazione..o che mi sappia dire dove trovarla per poterla studiare.
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n + 1 su un campo K e denotiamo con PG(V ) l’insieme dei sottospazi 1−dimensionali di V, che chiameremo punti di P G(V ).
Provare che due rette distinte di un piano di PG(V ) si intersecano in esattamente un punto.
Vi ringrazio per l'aiuto.
Sia $M=[(0,A),(A^T,0)]$ con $AinRR^(nxxn)$ allora $M$ è simmetrica e vale $M^TM=[(A A^T,0),(0,A^TA)]$, qualcuno mi conferma che sto avendo questo stupido dubbio non so perchè ahahhaha.
salve ,in vista di un esame imminente avrei bisogno di aiuto per un esercizio di un vecchia prova d esame che non riesco a risolvere.
Dire per quali valori di k ∈ R l’applicazione
lineare fk : R
3 → R
4
`e iniettiva
e per quali valori di k ∈ R `e suriettiva. Per k = 3 trovare una base e la
dimensione del nucleo e dell’immagine di f3
Sarò grato a chiunque possa aiutarmi.
Ciao ragazzi, sto cercando metodi per calcolare velocemente la segnatura di una matrice e sostanzialmente mi sono imbattuto in questi: permutazioni dei segni dei minori, calcolo degli autovalori, trovare una matrice diagonale con il metodo babilonese, trovare una base ortogonale con Gram-Schimdt e le operazioni elementari.
A questo punto vorrei capire come faccio a intuire il metodo migliore da usare, dato che molto spesso nei miei esercizi ci sono dei parametri e i calcoli mi danno dei ...
Sono dati i tre vettori non nulli e linearmente indipendenti $x_1,x_2,x_3inRR^n$. Determina la matrice di proiezione ortogonale nello spazio ortogonale a $span{x_1,x_2,x_3}$.
Usando Gram-Schmidt ho trovato:
$\hat q_1=a_1$ da cui $q_1=\hat q_1/||q_1||$
$\hat q_2=a_2-q_1q_1^Ta_2$ da cui $q_2=\hat q_2/||q_2||$
$\hat q_3=a_3-q_1q_1^Ta_3-q_2q_2^Ta_3$ da cui $q_3=\hat q_3/||q_3||$
Sia $U$ la matrice che ha per colonne $[q_1,q_2,q_3]$, allora $\Pi=UU^T$ è la matrice di proiezione ortogonale nello spazio $span{x_1,x_2,x_3}$. ...
Salve, volevo sapere se una matrice non simmetrica è sempre non diagonalizzabile e viceversa. Se non vado errato posso vedere la diagonalizzabilità se ottengo autovalori distinti e, se non sono distinti, se la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica, altrimenti potrei anche usare i cerchi di gershgorin (se non sbaglio). Però mi servirebbe un modo pià immediato per dire se è diagonalizzabile o no, si può fare attraverso la simmetria? Grazie!
Salve ragazzi,
qualcuno saprebbe risolvere questo esercizio??
* Testo scritto dell'immagine *
Sia f l'endomorfismo di R3, tale che
-kerf = {(x,y,z) | x+y+z = 0}
-f(e1+e2+e3) = e1+e2+e3
essendo {e1,e2,e3} la base canonica di R3. Discutere diagonalizzabilità di f.
Abbiamo \(\displaystyle f(1,1,1) = (1,1,1) \), ma non saprei come procedere ..
\(\displaystyle f^{-1} = (x,y,z) t.c. x+y+z = 0 \)
\(\displaystyle dimKerF = 1 \) per cui \(\displaystyle dimImF = 2 \)
Qualche ...
Ciao a tutti, vi avevo scritto qualche tempo fa perchè stavo preparando un esamino di algebra lineare. Purtroppo l'esame non l'ho passato, avevo in effetti troppo poco tempo per farcela. E in più l'esercizio era uno solo, questo:
Per quali valori di α il sistema qui sotto ammette soluzioni?
\(\displaystyle \left \{ \begin{array}{rl}
αx + y - z = 0\\
x + αy - z = 2\\
(α+1)x + 3y -2z = 2\\
\end{array}
\right. \)
Ho provato ad applicare il metodo di eliminazione di Gauss, ma mi blocco dopo ...
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio ma non so farlo quindi chiedo a voi.
ho una matrice 4x4 formata da questi 4 vettori v1(0,1,1,2) v2(1,-1,-1,0) v3(1,0,0,1) v4(0,0,0,1) ovviamente sono scritti in colonna ma qua non so come metterli. L'esercizio mi chiede di trovare il rango di questa matrice, una base e la dimensione. Qualcuno può aiutarmi?? Grazie
Salve, mi sorge un dubbio, è vero che una matrice ha autovalori reali se la matrice di partenza è uguale alla sua trasposta? (ovvero se è simmetrica) Altrimenti, se non è simmetrica ha autovalori complessi? In caso non fosse così c'è un modo per capire al volo se una matrice ha autovalori reali o complessi? Grazie mille
Ciao ragazzi, data un applicazione lineare del tipo:
\(\displaystyle f(x,y,z) = 2(x+y+z) \)
scrivere la matrice associata ad \(\displaystyle f \) rispetto alle basi canoniche di \(\displaystyle R_3 \), mi chiedevo esattamente da dove usciva fuori che la matrice associata fosse una matrice diagonale con tutti 2 nella diagonale...
Per esempio:
\(\displaystyle f(1,0,0) = 2(1+0+0) = (2) \) non \(\displaystyle (2,0,0) \) , giusto? o mi sfugge qualcosa?
Per esempio, mi aspetterei una matrice ...
Salve a tutti, sono uno studente di Informatica e sto svolgendo vari compiti di Algebra Lineare e Geometria in preparazione per un esame. Mi sono imbattuto in questo esercizio che non sto riuscendo a svolgere:
Nello spazio si considerino i punti A=(1,1,1), B=(0,1,-1), C=(2,0,2). Determinare un sistema di equazioni cartesiane di una retta passante per A, giacente sul piano ABC e che formi con la retta AB un angolo di 30 gradi.
Sono riuscito a trovare il piano ABC, cioè $ 2x+y-z-2=0 $ e la ...
Buongiorno a tutti,
probabilmente la mia domanda potrebbe sembrare banale però... ho qualche problema con le operazioni indotte.
Ho allegato una immagine del libro a cui faccio riferimento.
Il problema è: quando si parla di operazioni indotte, per come ne ho capita io la definizione, ci si riferisce a operazioni interne definite su un certo insieme \(\displaystyle I \) che poi vengono ristrette a un sottoinsieme \(\displaystyle I' \subseteq I \)
Nel caso dell'esempio 1.5 su cui ho fatto le ...
Salve,
In un esercizio è richiesto di invertire la seguente matrice:
$A=I4ww^T$ dove $w=[1/sqrt2,-1/sqrt2, 1/sqrt2]^T$
Secondo il testo la matrice è invertibile, secondo i miei calcoli non lo è.
Ho calcolato prima $ww^T=[(1/2,-1/2,1/2),(-1/2,1/2,-1/2),(1/2,-1/2,1/2)]$
Poi ho moltiplicato per $4$ ottenendo $[(2,-2,2),(-2,2,-2),(2,-2,2)]$
Infine la matrice identità è elemento neutro rispetto al prodotto quindi la matrice $A$ è l'ultima sopra ottenuta, la quale è non invertibile in quanto il determinante è nullo.
Mi chiedo ...
Salve ragazzi, stavo studiando questo teorema la cui dimostrazione sulla linearità è stata gentilmente omessa. Potreste aiutarmi? Inoltre posso trovare da qualche parte una spiegazione un po' semplificata o comunque comprensibile sull'insieme delle applicazioni lineari $Hom_k(V,W)$ ?
Teorema
Siano $(V,+,*)$ e $(W,+,*)$ due spazi vettoriali su $K$ . Supponiamo che $dimV=n$ e $dimW=m$. Fisso $B={v_1...v_n}$ base di $V$ e ...
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