Applicazioni Lineari

[ffeeddee95]

Buon pomeriggio, avrei bisogno del vostro aiuto.
Ho il seguente esercizio: Siano f: X→Y e g: Y→X applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione finita. Dimostrare che, se g(f(x)) è invettiva, allora f è invettiva e g è suriettiva.
Potreste aiutarmi? grazie in anticipo.

[j18eos]

È una funzione invettiva contro chi?

Forse la prima "invettiva" dovrebbe essere invertibile e la seconda "invettiva" dovrebbe essere iniettiva?

[ffeeddee95]

Si scusate il correttore, l'esercizio chiede: "Sia g(f(x)) iniettiva, dimostrare che f è necessariamente iniettiva e g è necessariamente suriettiva". Grazie e scusate ancora

[megas_archon]

Siccome \(gf\) è iniettiva, per ogni altra coppia di funzioni \(u,v\) si ha \(gfu=gfv\Rightarrow u=v\); ma allora, se \(fu=fv\), post-componendo con \(g\) si ha \(u=v\), quindi \(f\) è iniettiva. Che \(g\) debba essere suriettiva è falso, se non lo è anche \(gf\).

[ffeeddee95]

grazie mille!