Determinare quando l'omomorfismo è diagonalizzabile
Buonasera a tutti, avrei bisogno di un aiuto sulla diagonalizzabilità di applicazioni lineari e matrici.
Vi riporto un esempio di esercizio su cui ho difficoltà:
Determinare per quali valori del parametro reale k l’omorfismo f(x, y) =(x + ky, x + y) é diagonalizzabile. Nei casi positivi, scrivere una base di autovettori al variare di k.
L'idea di base è quella di determinare la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche e dovrebbe essere: (1,k) (k,1).
Una volta fatto ciò mi trovo gli autovalori andando a sottrarre lambda sulla diagonale principale e trovare il polinomio caratteristico. Una volta trovate le radici del polinomio caratteristico dovrei trovare le basi di autovettori ma, su questo punto ho un dubbio.
Sugli appunti del professore c'è un corollario che dice:
"Se gli autovalori di un endomorfimo f sono tanti quanti n=dim V, ovvero il polinomio caratteristico di f ha esattamente n radici distinte, allora f è diagonalizzabile laddove i corrispondenti autovettori formano una base spettrale per f."
Sui vari forum ho trovato che devo definire la molteplicità algebrica e geometrica ma, negli appunti non ne parla proprio.
Quindi, vi chiedo, una volta trovate le radici del polinomio caratteristico, e queste sono dello stesso numero della dimensione della matrice allora la matrice è diagonalizzabile, cosa devo fare? Come faccio a definire il parametro K?
Vi riporto un esempio di esercizio su cui ho difficoltà:
Determinare per quali valori del parametro reale k l’omorfismo f(x, y) =(x + ky, x + y) é diagonalizzabile. Nei casi positivi, scrivere una base di autovettori al variare di k.
L'idea di base è quella di determinare la matrice associata all'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche e dovrebbe essere: (1,k) (k,1).
Una volta fatto ciò mi trovo gli autovalori andando a sottrarre lambda sulla diagonale principale e trovare il polinomio caratteristico. Una volta trovate le radici del polinomio caratteristico dovrei trovare le basi di autovettori ma, su questo punto ho un dubbio.
Sugli appunti del professore c'è un corollario che dice:
"Se gli autovalori di un endomorfimo f sono tanti quanti n=dim V, ovvero il polinomio caratteristico di f ha esattamente n radici distinte, allora f è diagonalizzabile laddove i corrispondenti autovettori formano una base spettrale per f."
Sui vari forum ho trovato che devo definire la molteplicità algebrica e geometrica ma, negli appunti non ne parla proprio.
Quindi, vi chiedo, una volta trovate le radici del polinomio caratteristico, e queste sono dello stesso numero della dimensione della matrice allora la matrice è diagonalizzabile, cosa devo fare? Come faccio a definire il parametro K?
Risposte
CIa0, benvenuto.
Da quel che leggo, calcoli male la matrice che rappresenta quell'endomorfismo (lineare di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)) rispetto alla base canonica!
Che calcolo esegui?
Da quel che leggo, calcoli male la matrice che rappresenta quell'endomorfismo (lineare di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)) rispetto alla base canonica!
Che calcolo esegui?
Benvenuto Antonio
Se sfogli questo forum, troverai millanta esercizi del genere con risposte dettagliate di millanta utenti.
Se sfogli questo forum, troverai millanta esercizi del genere con risposte dettagliate di millanta utenti.
"j18eos":
CIa0, benvenuto.
Da quel che leggo, calcoli male la matrice che rappresenta quell'endomorfismo (lineare di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\)) rispetto alla base canonica!
Che calcolo esegui?
Si, probabilmente ho sbagliato i calcoli per calcolare la matrice associata all'applicazione lineare. Comunque, svolgo i seguenti calcoli:
f(1,0)=(1+k,1) e f(0,1)=(K,1). Ora dovrebbe essere corretto, spero!
@2246Antonio2246 Quanto vale \(f(1,0)\)? 
@Bokonon [ot]Siamo divenuti un forum di utenti millantatori?
[/ot]
@Bokonon [ot]Siamo divenuti un forum di utenti millantatori?
[/ot]
"j18eos":
@2246Antonio2246 Quanto vale \(f(1,0)\)?
@Bokonon [ot]Siamo divenuti un forum di utenti millantatori?
Non dovrebbe essere:
f(1,0)=(1+k(0),1+0) ?
Ora, il parametro k non dovrebbe annullarsi poichè, è un parametro e quindi bisogna discuterlo; ma poi come posso continuare a diagonalizzare?
Grazie mille, veramente!
...e qui ti sbagli: un qualsiasi numero reale \(\displaystyle k\) moltiplicato per \(\displaystyle0\) da come risultato \(\displaystyle0\)!
@Armando
[ot]LOL quasi quasi mi cambio il nick in Millantatore![/ot]
[ot]LOL quasi quasi mi cambio il nick in Millantatore![/ot]
"j18eos":
...e qui ti sbagli: un qualsiasi numero reale \(\displaystyle k\) moltiplicato per \(\displaystyle0\) da come risultato \(\displaystyle0\)!
Allora era come ipotizzato in partenza soltanto che avevo sbagliato a scrivere e quindi mi avevi corretto, giustamente! Sono fuso veramente.
Quindi, in definitiva, la matrice associata è
f(1,0)=(1,1)
f(0,1)=(k,1)
Dopodichè trovo gli autovalori andando a sottrarre sulla diagonale principale il λ e calcolo il polinomio caratteristico che è λ=1+√ k e λ=1-√ k e poi? Dovrei trovarmi gli autovettori facendo il sistema, corretto?
@2246Antonio4622 Ben fatto! 
Adesso devi ricordarti il dominio della funzione radice quadrata (sui numeri reali).
@Bokonon [ot]:smt005
[/ot]
Adesso devi ricordarti il dominio della funzione radice quadrata (sui numeri reali).
@Bokonon [ot]:smt005
[/ot]
"j18eos":
@2246Antonio4622 Ben fatto!
Adesso devi ricordarti il dominio della funzione radice quadrata (sui numeri reali).
@Bokonon [ot]:smt005
Che sarebbe l'argomento ≥ 0, quindi impongo che K ≥ 0?
Grazie mille per la vostra pazienza (e anche per farmi ragionare passo passo sulla soluzione finale).
Sì, se vuoi studiare la diagonalizzabilità su \(\mathbb{R}\)!
E quindi? Dopo aver detto che k>0 ai due autovalori λ=1+√ k e λ=1-√ k metto K=0 una volta e k≠0 la seconda volta e trovo il sistema con gli autovettori?
Anche perchè la consegna dice per quali valori di K è diagonalizzabile e scrivere una base di autovettori al variare di k.
Anche perchè la consegna dice per quali valori di K è diagonalizzabile e scrivere una base di autovettori al variare di k.
Eh, certo che devi determinare gli autovettori al variare di \(k\geq0\)!
"j18eos":
Eh, certo che devi determinare gli autovettori al variare di \(k\geq0\)!
Ok, l'ho svolto, dimmi tu:
Se k=0 allora λ=1+√0= 1 e λ=1-√0=1 quindi è diagonalizzabile poichè ha 2 autovalori distinti che coincidono con la dimensione della matrice associata (che è 2) e quindi, per trovare gli autovalori basta fare:
{0x+0y=0}
{x+y=0}
Se k≠0 allora abbiamo che i due autovalori che sono: λ=1+√k e λ=1-√k ma non so come comportarmi. Nel senso, posso dire che è diagonalizzabile lo stesso e trovare gli autovalori con il sistema?
Passo passo, arriveremo alla soluzione!!
Non mi trovo;
per \(\displaystyle k=0\) tu devi determinare gli autovalori della matrice:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix};
\]
ma poi devi controllare se effettivamente sia diagonalizzabile...
Che ha calcolo hai svolto?
per \(\displaystyle k=0\) tu devi determinare gli autovalori della matrice:
\[
\begin{pmatrix}
1 & 0\\
1 & 1
\end{pmatrix};
\]
ma poi devi controllare se effettivamente sia diagonalizzabile...
Che ha calcolo hai svolto?
Ahhh, ho capito.
Per k=0 la matrice che mi trovo è la stessa della tua soltanto che non ho trovato gli autovalori relativi. In questo caso l'autovalore è unico ed è λ=1 quindi non dovrebbe essere diagonalizzabile poichè ha un numero di autovalori che è minore dell'ordine della matrice.
Per k≠0 si deve sostituire λ=1+√k e λ=1-√k agli autovalori che siamo trovati e vedere se la matrice è diagonalizzabile? Perchè svolgendo i calcoli mi ritrovo λ=-√k+k e λ=-√k-k.
Per k=0 la matrice che mi trovo è la stessa della tua soltanto che non ho trovato gli autovalori relativi. In questo caso l'autovalore è unico ed è λ=1 quindi non dovrebbe essere diagonalizzabile poichè ha un numero di autovalori che è minore dell'ordine della matrice.
Per k≠0 si deve sostituire λ=1+√k e λ=1-√k agli autovalori che siamo trovati e vedere se la matrice è diagonalizzabile? Perchè svolgendo i calcoli mi ritrovo λ=-√k+k e λ=-√k-k.
"2246Antonio2246":Falso: anche la matrice identità ha come unico autovalore \(1\) ma è banalmente diagonalizzabile!
[...] In questo caso l'autovalore è unico ed è λ=1 quindi non dovrebbe essere diagonalizzabile poichè ha un numero di autovalori che è minore dell'ordine della matrice. [...]
Devi calcolare le molteplicità algebriche e geometriche dell'autovalore determinato: conosci questi concetti?
"j18eos":Falso: anche la matrice identità ha come unico autovalore \(1\) ma è banalmente diagonalizzabile!
[quote="2246Antonio2246"][...] In questo caso l'autovalore è unico ed è λ=1 quindi non dovrebbe essere diagonalizzabile poichè ha un numero di autovalori che è minore dell'ordine della matrice. [...]
Devi calcolare le molteplicità algebriche e geometriche dell'autovalore determinato: conosci questi concetti?[/quote]
Dagli appunti del prof ho letto questo:
"Se gli autovalori di un endomorfimo f sono tanti quanti n = dim V, ovvero il polinomio caratteristico di f ha esattamente n radici distinte, allora f e’ diagonalizzabile laddove i corrispondenti autovettori formano una base spettrale per f."
C'entra qualcosa?
Sì: quella è una condizione sufficiente ma non necessaria per la diagonalizzabilità di una matrice quadrata! 
Ottimo, nel capitolo sulla diagonalizzazione del programma che ha affrontato non ha minimamente accennato alle molteplicità ma io, vedendo qualche video di professori e consultando il libro di testo si parla delle molteplicità per la diagonalizzazione di una matrice.
Se non ti è di disturbo, mi sapresti dire come risolvere questa tipologia di esercizio?
A me è chiaro che:
1) Calcolo la matrice associata;
2) Mi calcolo gli auotovalori che corrispondono allo zero del polinomio caratteristico;
3) Studio il parametro quando è =0 e quando è ≠0.
Poi? Dovrei sostituire i valori di k nella matrice e trovare gli autovalori corrispondenti? E se è diagonalizzabile, mi calcolo gli autovettori con il sistema?
Se non ti è di disturbo, mi sapresti dire come risolvere questa tipologia di esercizio?
A me è chiaro che:
1) Calcolo la matrice associata;
2) Mi calcolo gli auotovalori che corrispondono allo zero del polinomio caratteristico;
3) Studio il parametro quando è =0 e quando è ≠0.
Poi? Dovrei sostituire i valori di k nella matrice e trovare gli autovalori corrispondenti? E se è diagonalizzabile, mi calcolo gli autovettori con il sistema?
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