Combinazione lineare di polinomi
Ciao a tutti.
Ho questa combinazione lineare di polinomi:
$1(x^2-x)+(-1)(2x+3)+2(2x^2+3)=5x^2-3x+3$
Devo trovare una combinazione lineare diversa degli stessi polinomi ma con lo stesso risultato.
Nella soluzione comincia scrivendo la combinazione generica:
$a_1(x^2-x)+a_2(2x+3)+a_3(2x^2+3)=5x^2-3x+3$
Che viene poi riscritta così:
$(a_1+2a_3-5)x^2+(-a_1+2a_2+3)x+(3a_2+3_a3-3)=0$
Che è l'equivalente del sistema
$\{(a_1+2a_3-5=0), (-a_1+2a_2+3=0), (3a_2+3_a3-3=0):}$
Le cui soluzioni sono $(a_1,a_2,a_3)=(2\alpha+3,\alpha,1-\alpha)$ con $\alpha$ $in$ $RR$
Ora la mia è domanda è: Come è arrivato ad avere $\alpha$ nel risultato? Invece che $a_1$, $a_2$ e $a_3$?
Ho questa combinazione lineare di polinomi:
$1(x^2-x)+(-1)(2x+3)+2(2x^2+3)=5x^2-3x+3$
Devo trovare una combinazione lineare diversa degli stessi polinomi ma con lo stesso risultato.
Nella soluzione comincia scrivendo la combinazione generica:
$a_1(x^2-x)+a_2(2x+3)+a_3(2x^2+3)=5x^2-3x+3$
Che viene poi riscritta così:
$(a_1+2a_3-5)x^2+(-a_1+2a_2+3)x+(3a_2+3_a3-3)=0$
Che è l'equivalente del sistema
$\{(a_1+2a_3-5=0), (-a_1+2a_2+3=0), (3a_2+3_a3-3=0):}$
Le cui soluzioni sono $(a_1,a_2,a_3)=(2\alpha+3,\alpha,1-\alpha)$ con $\alpha$ $in$ $RR$
Ora la mia è domanda è: Come è arrivato ad avere $\alpha$ nel risultato? Invece che $a_1$, $a_2$ e $a_3$?
Risposte
Perchè quel sistema ha infinite soluzioni. Prova a utilizzare Rouchè Capelli.
Ciao Timofran,
Benvenuto sul forum!
Perché pur essendo un sistema di $3$ equazioni in tre incognite ha $\infty^1 $ soluzioni, che quindi esprime in funzione di un parametro $\alpha $ (che è una delle $3$ incognite, precisamente $a_2 $). Osserva che per $\alpha = - 1 $ riottieni la combinazione lineare iniziale.
Benvenuto sul forum!
Perché pur essendo un sistema di $3$ equazioni in tre incognite ha $\infty^1 $ soluzioni, che quindi esprime in funzione di un parametro $\alpha $ (che è una delle $3$ incognite, precisamente $a_2 $). Osserva che per $\alpha = - 1 $ riottieni la combinazione lineare iniziale.
Grazie, adesso ho capito. Anche un sistema del tipo:
$\{(2a+b=4),(3a+b=5),(b-a=1):}$
Se ha infinite soluzioni posso risolverlo usando lo stesso metodo? O ci sono metodi più appropriati?
$\{(2a+b=4),(3a+b=5),(b-a=1):}$
Se ha infinite soluzioni posso risolverlo usando lo stesso metodo? O ci sono metodi più appropriati?
Il sistema che hai scritto nonostante abbia 3 equazioni in 2 incognite ha 1 soluzione. In generale conviene verificare se vi sono soluzioni (e nel caso se infinite o una sola) con il T. di Rouchè Capelli e quindi applicare il metodo di soluzione a scelta tra quelli disponibili (sostituzione, Gauss, ecc.).
Quando ha $infty^1$ soluzioni sceglierai 1 parametro a piacere per esprimere le soluzioni, se ha $infty^2$ soluzioni sceglierai 2 parametri a piacere per esprimere le soluzioni e così via.
Quando ha $infty^1$ soluzioni sceglierai 1 parametro a piacere per esprimere le soluzioni, se ha $infty^2$ soluzioni sceglierai 2 parametri a piacere per esprimere le soluzioni e così via.
"TimoFran":
Ora la mia è domanda è
[xdom="gugo82"]Invece la mia è: che ci fa questa roba nella stanza di Analisi?
Sposto in Geometria ed Algebra Lineare.[/xdom]
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