Problema Rango e Soluzione Sistema Lineare

[Dave951]

Sera ragazzi, mi si è presentato oggi tale problema :
Sapendo che \(\displaystyle (1,-1,2,3) \) è soluzione del sistema lineare \(\displaystyle AX=B \) con
\(\displaystyle A\in R^{3,4} \) e \(\displaystyle B\neq 0 \) dove \(\displaystyle 0 \) indica la matrice nulla, dire se le seguenti affermazioni sono vere :
-\(\displaystyle \mathop{\mathrm{rank}}(A)=4 , \)
-\(\displaystyle \mathop{\mathrm{rank}}(A)=\mathop{\mathrm{rank}}(A|B) , \) ;
-il sistema lineare ha una sola soluzione ;
- il sistema lineare ammette la soluzione nulla ;

per affermare che le affermazioni sono vere ho ragionato in tal maniera(sicuramente ho commesso errori ):

- \(\displaystyle \mathop{\mathrm{rank}}(A)=4 , \) non può essere in quanto una matrice che possiede 3 righe e 4 colonne deve per forza avere un \(\displaystyle \mathop{\mathrm{rank}}(A)=3 , \) o più piccolo;

- \(\displaystyle \mathop{\mathrm{rank}}(A)=\mathop{\mathrm{rank}}(A|B) , \) vera in quanto avendo già una soluzione il sistema lineare deve essere compatibile ed ammettere soluzioni ;

-il sistema lineare non presenta una sola soluzione in quanto essendo il numero delle incognite uguale a 4 e il rango pari a 3 o meno , il sistema ammetterà infinite soluzioni che dipendono da n° incognite - rank(A|B);

- il sistema non ammette la soluzione nulla in quanto non è un sistema lineare omogeneo;

Siete d'accordo con quanto scritto?
Se ho commesso errori, dove?

grazie mille a tutti!

[adaBTTLS1]

sì, mi pare tutto OK.

[Dave951]

Che buona notizia, grazie adaBTTLS !

[adaBTTLS1]

prego!