Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Sia (X,d) uno spazio metrico ed y ∈ X. dimostrare che l 'applicazione f: X → R , definita da f(x) = d(x,y) è continua.
come posso dimostrarlo???
Qualcuno potrebbe aiutarmi? Ho registrato e trascritto le dimostrazioni del prof., ma proprio non riesco a capirle.
Mi perdo già nella prima parte del teorema, anche se so che cos'è una base e un sistema di generatori e riesco a fare qualche esercizio.
"Risulta fondamentale il seguente teorema: ogni spazio vettoriale $V$ possiede una base, anzi ogni sistema di generatori di $V$ contiene una base di $V$. Nell'ipotesi che $V$ risulti finito ...
Buongiorno a tutti. Vorrei cortesemente chiedere agli studiosi di Algebra se il nucleo di un applicazioni tra spazi vettoriali è definito anche nel caso in cui l'applicazione sia non lineare.
Ringrazio anticipatamente.
Sera, ragazzi mi si presenta il seguente esercizio:
Determinare una matrice $A∈R^{2,2} $ non nulla in ciascuno dei seguenti casi:
a)$A^2=O $ (matrice nulla);
b)$ A^2=A $;
c)$ A^2=I $ (matrice unita') ;
Io ho determinato le seguenti matrici:
a) vedo $A^2$ come $A*A$ tale che $ A*A=0$ quindi A=$((0,1),(0,0))$ * $((0,1),(0,0))$= $((0,0),(0,0))$
b) vedo $A^2$ come $A*A$ tale che ...
Sera, ragazzi l'esercizio dice : Sia A una matrice invertibile, dimostrare che anche \(\displaystyle A^n \) è una matrice invertibile e \(\displaystyle (A^n)^{-1}=(A^{-1})^n \) . Le cose da cui potrei partire sono che se la matrice è invertibile allora il rank(A)=n(massimo) o il det(A) è diverso da zero. Per dimostrare che \(\displaystyle A^n \) è invertibile posso vedere \(\displaystyle A^n= A*....*A \) n volte cioè quindi n volte il prodotto di A ed essendo A invertibile allora ...
Ho il seguente campo vettoriale: $Y(x,y,z)=(xy,yz,z^2-1)$, si può mostrare che è un campo $C^{\infty}$ su $S^2$. sulla sfera $S^2\subset R^3$ considero l'atlate $\{(U_1=S^2\\{N}, \phi_1),(U_2=S^2\\{S}, \phi_2)$ dove $\phi_1$ e$\phi_2$ sone le rispettive proiezioni stereografiche(le coordinate locali le chiamo $\{u,v\}$. Se voglio scrivere il campo come punto della varietà $TS^2$ posso fare così:
(vediamo rispetto alla proiezione stereografica dal polo Sud)
$\psi: TS^"\rightarrowR^4$ e si ...
ho un esercizio in cui mi chiede di trovare per quale valore del parametro h , fh sia diagonalizzabile; il problema è che non mi trovo con la soluzione e l'ho rifatto molte volte
fh(x,y,z)=(x+y+z,y,-4hy),h€R
a) determinare gli autovalori di fh e i valori di h tali che fh sia diagonalizzabile
b) determinare i valori del parametro h per cui il vettore (1,1,1) appartenga a IMfh
Ho eseguito così:
f(1,0,0)=(1,0,0)
f(0,1,0)=(1,1,-4h)
f(0,0,1)=(1,0,0)
$ | ( 1 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , -4h , 0 ) | $
poi polinomio caratteristico ...
Ciao a tutti.
E' da un pò di tempo che cerco di risolvere questo esercizio alquanto astruso, spero di arrivare alla soluzione insieme a voi:
E' assegnata la seguente applicazione lineare: f: R^3 --> R^4 tale che
Ker f= {(x,y,z) $in$ R^3: x-5y+z=0} e f(0,1,1)= (-1,-3,0,-4)
a) Determinare la matrice associata rispetto alle basi canoniche
b) Determinare Im f
Avevo iniziato calcolandomi il rango della matrice associata a Ker f:
{x-5y+z=0
A= (1 -5 1); $\rho$ (A)= 1 e per ...
Ciao ragazzi, l'esercizio mi chiede:
Dire, giustificando la risposta, se i seguenti sottoinsiemi di \(\displaystyle R^{3,3} \) sono sottospazi vettoriali.
I sottoinsiemi sono: \(\displaystyle W_{2} =((c,d,0),(0,0,0),(a,b,0)) \) ed \(\displaystyle W_{1}=((1,2,0),(0,0,0),(a,b,0)) \).
Prima di tutto per dimostrare se siano sottospazi vettoriali devo dimostrare che gli insiemi siano chiusi rispetto alle operazioni di somma e prodotto per scalari.
Quello che mi salta all'occhio è che ...
Salve a tutti, ho provato a fare questo esercizio e cioè:
In $R^4$ siano dati i sottospazi $U_{h} = {(x,y,z,t) \in R^{4} | - x + z + ht = (2-h)x + (h - 3)y + z + 3t=0$ con $h$ $\in$ $R$ e $v = {(x,y,z,t) \in R^{4} | y-t =0}$. Il punto dice di trovare l'intersezione $U_{h}$ e $V$ e $U_{h} + V$ al variare di $h$ e trovare una base e per quali valori di $h$ c'è la somma diretta.
In questo esercizio ci sono molti altri punti, che ho fatto, ma in questo sono ...
Salve,
Ho provato a fare questo problema preso da una traccia d'esame ma vorrei una conferma che sia stato fatto bene
Ho due rette r e s
r: $ { ( x=1-2t ),( y=-1+t ),( z=-1+2t ):} $
s: $ { ( x + 2y=0 ),( x+z=0):} $
I direttori di r sono ( -2,1,2) e il punto ( 1,-1,-1)
Ho portato la retta s nella forma parametrica e mi sono trovato
Direttori ( 2,-1,-2)
Confrontanto i due direttori si nota che sono diversi quindi non sono paralleli
Ho continuato facendo il sistema sostituendo i valori del primo sistema nel secondo ...
Sera ragazzi, ho il seguente quesito: I polinomi \(\displaystyle p(x)=1+2x+x^2, q(x)=2+x^2 \) sono dei generatori di \(\displaystyle R_2[x] \) ?
ho ragionato nel modo seguente: nel caso di p(x) assumo come sistema di generatori \(\displaystyle {(1,x,x^2)} \) dove ognuno di esso possiede gradi diversi pertanto sono linearmente indipendenti;
nel caso di q(x) mi riferisco ad un sistema di generatori del tipo \(\displaystyle {(1,x^2)} \) una volta fatto ciò verifico che siano linearmente ...
Ciao ragazzi, mi si chiede di verificare che i seguenti sottoinsiemi di R4 sono sottospazi vettoriali :
\(\displaystyle 1. W1 = (x1,x2,x3,x4) ∈ R^4 | x_1 +x_2 −x_3 +4x_4 = 0 \)
\(\displaystyle 2. W2 = (x1,x2,x3,x4) ∈ R^4 | x_1^2 +x_2^2 = 0 \)
\(\displaystyle 3. W3 = (x1,x2,x3,x4) ∈ R^4 | x_1^2 +x_2^2 +3x_3^2 +4x_4^2 = 0 \)
Per verifica ciò, controllo se la soluzione \(\displaystyle (0,0,0,0) \) verifica le equazioni. Questa soluzione vale per tuttie le equazioni dei sottoinsiemi \(\displaystyle ...
Qualcuno conosce il libro 'Pagine di Geometria' di Sara Dragotti? Nel capitolo 'Autovettori e Autovalori' (https://www.docenti.unina.it/supportoAl ... cente=SARA) credo che ci sia un errore nella dimostrazione del teorema 6.11, le matrici delle componenti sono non cancellabili se sono la matrice nulla?
Ciao! Potreste aiutarmi a risolvere questo sistema lineare a coefficienti complessi al variare dei parametri h,k appartenenti a C.
\(\displaystyle \)
\left\{\begin{matrix}
(k-1)x+ ky + 8iz + kt= h\\
ix -2iy +(k+1)z -2it =i \\
-kx -ky -8iz -kt = 7+2i
\end{matrix}\right.
Prima di tutto devo studiare la compatibilità, applicando il teorema di Rouché Capelli, per cui so che il sistema è compatibile se e solo se il rango della matrice incompleta è uguale al rango della matrice completa. ...
mi aiutate a trovare l'autovettore di questa matrice?
$ ( ( 2 , 1 , 1 ),( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $
A(0,0,0)B(4,2,2)C(1,2,-2)D(3,-1,-1) ora la A non può essere perchè il vettore nullo non può essere autovettore perchè sarebbe verificato per ogni $ lambda $, ma a me esce sempre il vettore nullo...
Salve a tutti , sto studiando da tre giorni il seguente problema che non riesco a completare.
In pratica ho uno spazio vettoriale V di equazioni cartesiane x=y , z=t ed F è un applicazione di "riflessione" rispetto allo spazio V di cui ho dato le equazioni cartesiane.Dovendo trovare il nucleo e l'immagine di F dovrei prima trovare la matrice associata e da lì procedere per trovare il nucleo e immagine (che do fare benissimo) il problema è che non so come trovare la matrice anche perchè sono in ...
Siano A1,...,An matrici quadrate di dimensioni rispettive d1x d1, ...., dn x dn.
Dimostrare che il determinante della matrice diagonale A di dimensioni n x n,
con diagonale formate da A1,....,An , è D(A)= D(A1)*.....*D(An)
Suggerimenti?
Salve a tutti, ho questo esercizio:
Ambiente: $P^2(K) ,[K=R,C]$
Date le due rette sghembe $r: { (x_0+x_1=0),(x_1+x_2=0):} s:{(x_2=0),(x_3=0):}$ e il punto proiettivo $P=[1,0,0,1] \notin r \cup s$ trovare la retta t passante per $P$ e incidente $r$ e $s$
Mio svolgimento:
ho parametrizzato i punti in $r$ come $R= ((a),(-a),(a),(b))$ e quelli in $s$ come $S= ((c),(d),(0),(0))$, quindi ho considerato la matrice
$A=((x_0,x_1,x_2,x_3),(a,-a,a,b),(c,d,0,0),(1,0,0,1))$
per poi imporre $rgA=2$, e ho continuato ...
Buonasera!
Vorrei una mano con il secondo punto di questo esercizio:
Sia $E^2$ lo spazio euclideo numerico bidimensionale con coordinate canoniche $(x, y)$.
Al variare di $α ∈ R$, si consideri la conica
$ Cα = {(x, y) ∈ E^2 | x^2 + αy^2 + 2x − 2αy + 1 = 0} $
(i) Classificare $Cα$ a meno di affinita' di E^2 al variare di $α ∈ R$.
(ii) Per quali $α ∈ R$ la conica $Cα$ e' metricamente equivalente alla conica $C$ di equazione ...
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