Esercizio classificazione conica euclidea
Buonasera!
Vorrei una mano con il secondo punto di questo esercizio:
Sia $E^2$ lo spazio euclideo numerico bidimensionale con coordinate canoniche $(x, y)$.
Al variare di $α ∈ R$, si consideri la conica
$ Cα = {(x, y) ∈ E^2 | x^2 + αy^2 + 2x − 2αy + 1 = 0} $
(i) Classificare $Cα$ a meno di affinita' di E^2 al variare di $α ∈ R$.
(ii) Per quali $α ∈ R$ la conica $Cα$ e' metricamente equivalente alla conica $C$ di equazione $x^2 + 2y^2 = 1$?
Sul primo punto tutto bene. In particolare trovo che
$
Qα$= $((1, 1, −α),(1 ,1 ,0),(−α,0,α))
$
con sottomatrice dei termini quadratici $Aα= ((1,0),(0,α))$
Gli invarianti affini sono:
- $det(Aα)=α$
- rango di $Aα$
Per α positivo (vi risparmio i calcoli) la conica Cα risulta essere un ellisse.
Adesso: il secondo punto sarebbe facile se si parlasse di equivalenza affine (giusto? sarebbe già tutto fatto, no?) ma non ho proprio idea di come procedere per l'equivalenza metrica.
Il professore mi propone una soluzione, che però non ho compreso.
La posto:
La conica C `e una ellisse reale e la sua matrice associata `e
$Q =((-1 ,0 ,0)
,(0 ,1 ,0)
,(0 ,0 ,2))$
Dunque, la conica Cα è isometrica a C se e solo se esiste una costante t non nulla tale che la matrice Q sia
equivalente alla matrice tQα (ossia abbia gli stessi invarianti metrici).
Per Q, calcoliamo det(Q) = −2 e det(A) = 2.
Trattandosi di una ellisse reale, deve certamente aversi α > 0. In tal caso, $det(tQα) = −t^3α^2$ e $det(tAα) = t^2α$
Dunque, se Cα e' isometrica a C, allora esiste un t non nullo tale che
${(−t^3α^2 = −2),
(t^2α = 2):}$
da cui otteniamo $t = 2 e α = 1/2$
In effetti, per $α = 1/2$, otteniamo che $det(2Q1/2) = det(Q)$, $det(2A1/2) = detA$ ed inoltre $2A1/2$ ha lo stesso
insieme di autovalori {1, 2} di A. Ne segue che $(Q, A) e (Q1/2, A1/2)$ hanno gli stessi invarianti metrici e
dunque le coniche loro associate sono isometriche.
Potreste spiegarmi perché si utilizza questo procedimento? da dove salta fuori questo t?
Vorrei una mano con il secondo punto di questo esercizio:
Sia $E^2$ lo spazio euclideo numerico bidimensionale con coordinate canoniche $(x, y)$.
Al variare di $α ∈ R$, si consideri la conica
$ Cα = {(x, y) ∈ E^2 | x^2 + αy^2 + 2x − 2αy + 1 = 0} $
(i) Classificare $Cα$ a meno di affinita' di E^2 al variare di $α ∈ R$.
(ii) Per quali $α ∈ R$ la conica $Cα$ e' metricamente equivalente alla conica $C$ di equazione $x^2 + 2y^2 = 1$?
Sul primo punto tutto bene. In particolare trovo che
$
Qα$= $((1, 1, −α),(1 ,1 ,0),(−α,0,α))
$
con sottomatrice dei termini quadratici $Aα= ((1,0),(0,α))$
Gli invarianti affini sono:
- $det(Aα)=α$
- rango di $Aα$
Per α positivo (vi risparmio i calcoli) la conica Cα risulta essere un ellisse.
Adesso: il secondo punto sarebbe facile se si parlasse di equivalenza affine (giusto? sarebbe già tutto fatto, no?) ma non ho proprio idea di come procedere per l'equivalenza metrica.
Il professore mi propone una soluzione, che però non ho compreso.
La posto:
La conica C `e una ellisse reale e la sua matrice associata `e
$Q =((-1 ,0 ,0)
,(0 ,1 ,0)
,(0 ,0 ,2))$
Dunque, la conica Cα è isometrica a C se e solo se esiste una costante t non nulla tale che la matrice Q sia
equivalente alla matrice tQα (ossia abbia gli stessi invarianti metrici).
Per Q, calcoliamo det(Q) = −2 e det(A) = 2.
Trattandosi di una ellisse reale, deve certamente aversi α > 0. In tal caso, $det(tQα) = −t^3α^2$ e $det(tAα) = t^2α$
Dunque, se Cα e' isometrica a C, allora esiste un t non nullo tale che
${(−t^3α^2 = −2),
(t^2α = 2):}$
da cui otteniamo $t = 2 e α = 1/2$
In effetti, per $α = 1/2$, otteniamo che $det(2Q1/2) = det(Q)$, $det(2A1/2) = detA$ ed inoltre $2A1/2$ ha lo stesso
insieme di autovalori {1, 2} di A. Ne segue che $(Q, A) e (Q1/2, A1/2)$ hanno gli stessi invarianti metrici e
dunque le coniche loro associate sono isometriche.
Potreste spiegarmi perché si utilizza questo procedimento? da dove salta fuori questo t?
Risposte
Sinceramente non capisco la soluzione del punto 2) che hai scritto. In particolare non capisco già cosa intendi con "A" quando dici "det(A)=2". (magari non la capisco solo io! sia chiaro...)
Comunque, per dimostrare un'equivalenza metrica fra due coniche dovresti solo far vedere per quali $\alpha$ esiste una isometria che manda $C_{\alpha}$ in $C$. In particolare dovresti dire per quali valori di $\alpha$ esiste una matrice $M$ che rappresenta una isometria del piano euclideo tale che $M^{T}Q_{\alpha}M = Q$.
Comunque, per dimostrare un'equivalenza metrica fra due coniche dovresti solo far vedere per quali $\alpha$ esiste una isometria che manda $C_{\alpha}$ in $C$. In particolare dovresti dire per quali valori di $\alpha$ esiste una matrice $M$ che rappresenta una isometria del piano euclideo tale che $M^{T}Q_{\alpha}M = Q$.
"Isaac888":
Sinceramente non capisco la soluzione del punto 2) che hai scritto. In particolare non capisco già cosa intendi con "A" quando dici "det(A)=2". (magari non la capisco solo io! sia chiaro...)
Per A intendo la sottomatrice di Q riferita ai termini quadratici, cioè $((1,0),(0,2))$, il cui determinante è quindi 2
Comunque è la soluzione del professore, e nemmeno a me è chiara!"Isaac888":
Comunque, per dimostrare un'equivalenza metrica fra due coniche dovresti solo far vedere per quali $\alpha$ esiste una isometria che manda $C_{\alpha}$ in $C$. In particolare dovresti dire per quali valori di $\alpha$ esiste una matrice $M$ che rappresenta una isometria del piano euclideo tale che $M^{T}Q_{\alpha}M = Q$.
Ok! Siccome Q è diagonale e le isometrie producono matrici ortogonali mi basta semplicemente fare uno studio sugli autovalori di $Q_{\alpha}$?
"Liacov":
Ok! Siccome Q è diagonale e le isometrie producono matrici ortogonali mi basta semplicemente fare uno studio sugli autovalori di $Q_{\alpha}$?
Ti basta far vedere che la matrice $Q_{\alpha}$ e la matrice $Q$ siano congruenti, ossia che abbiano la stessa segnatura viste come matrici di prodotti scalari.
Ok, grazie mille
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