Dubbio Dimostrazione Proprietà Commutativa rispetto alla Somma
Ciao ragazzi, avendo iniziato il corso di Geometria e algebra lineare da pochi giorni , sono nati i primi dubbi.
Questi dubbi si basano su degli esercizi che ci ha dato la professoressa tra cui la dimostrazione della proprietà commutativa rispetto alla somma. Io ho risolto in tal maniera e non so se è il modo corretto di procedere: definisco una struttura algebrica
\(\displaystyle R^{m,n} \) e due matrici \(\displaystyle A=(a_{i,j}) \in R^{m,n} \) e \(\displaystyle B=(b_{i,j}) \in R^{m,n} \) tale che \(\displaystyle A+B=(a_{i,j}+b_{i,j}) \in R^{m,n} \). Fatto ciò, creo due matrici e le somma, o meglio :
$((a_{1,1},...,a_{1,n}),(a_{2,2},...,a_{2,n}),(a_{m,1},...,a_{m,n}))$ + $((b_{1,1},...,b_{1,n}),(b_{2,2},...,b_{2,n}),(b_{m,1},...,b_{m,n}))$= $((a_{1,1}+b_{1,1},...,a_{1,n}+ b_{1,n}),(a_{2,2}+b_{2,2},...,a_{2,n}+b_{2,n}),(a_{m,1}+b_{m,1},...,a_{m,n}+b_{m,n}))$
Questo metodo, potrebbe essere corretto? Se si, posso allargarlo anche alla proprietà associativa, all'esistenza dell'elemento neutro e all'esistenza dell'opposto della matrice,il tutto sempre rispetto alla somma?
grazie mille a coloro che risponderanno!
Questi dubbi si basano su degli esercizi che ci ha dato la professoressa tra cui la dimostrazione della proprietà commutativa rispetto alla somma. Io ho risolto in tal maniera e non so se è il modo corretto di procedere: definisco una struttura algebrica
\(\displaystyle R^{m,n} \) e due matrici \(\displaystyle A=(a_{i,j}) \in R^{m,n} \) e \(\displaystyle B=(b_{i,j}) \in R^{m,n} \) tale che \(\displaystyle A+B=(a_{i,j}+b_{i,j}) \in R^{m,n} \). Fatto ciò, creo due matrici e le somma, o meglio :
$((a_{1,1},...,a_{1,n}),(a_{2,2},...,a_{2,n}),(a_{m,1},...,a_{m,n}))$ + $((b_{1,1},...,b_{1,n}),(b_{2,2},...,b_{2,n}),(b_{m,1},...,b_{m,n}))$= $((a_{1,1}+b_{1,1},...,a_{1,n}+ b_{1,n}),(a_{2,2}+b_{2,2},...,a_{2,n}+b_{2,n}),(a_{m,1}+b_{m,1},...,a_{m,n}+b_{m,n}))$
Questo metodo, potrebbe essere corretto? Se si, posso allargarlo anche alla proprietà associativa, all'esistenza dell'elemento neutro e all'esistenza dell'opposto della matrice,il tutto sempre rispetto alla somma?
grazie mille a coloro che risponderanno!
Risposte
@Dave95,
hai scritto solo un`uguaglianza; devi fare vedere che \(A+B=B+A\) nel caso della verifica della proprietä commutativa; prendi le due matrici somma e verifica l`uguaglianza tra queste..
Ricordati che gli elementi di una matrice sono elementi di un campo (ops ho detto troppo..)
hai scritto solo un`uguaglianza; devi fare vedere che \(A+B=B+A\) nel caso della verifica della proprietä commutativa; prendi le due matrici somma e verifica l`uguaglianza tra queste..
Ricordati che gli elementi di una matrice sono elementi di un campo (ops ho detto troppo..)
Per semplificare la dimostrazione tieni presente che la somma fra matrici è definita a partire dalla somma fra numeri reali, pertanto essa eredità tutte le proprietà della somma fra reali. Quindi io dimostrerei le proprietà della somma fra matrici tramite numeri reali, per poi estenderle alle matrici.
Per esempio:
$A=(a_(ij))$ $nxxm$, per cercare l'elemento inverso rispetto allo soma basta trovare $A' : A+A'=0$, e per farlo basta scegliere $A':=-A=(-a_(ij))$; infatti $A+(-A')=0$.
Per esempio:
$A=(a_(ij))$ $nxxm$, per cercare l'elemento inverso rispetto allo soma basta trovare $A' : A+A'=0$, e per farlo basta scegliere $A':=-A=(-a_(ij))$; infatti $A+(-A')=0$.
Ok, gli elementi della matrice sono elementi di un campo. Essendo elementi di un campo, valgono le proprietà dei gruppi abeliani( o gruppi commutativi) rispetto la somma e in più la proprietà distributiva del prodotto rispetto la somma , potrebbe essere corretto?
Per la dimostrazione va bene dire che essendo \(\displaystyle a_{i,j}+b_{i,j}= b_{i,j}+a_{i,j} \) dove
\(\displaystyle a_{i,j} , b_{i,j} \in R^{m,n} \) allora vale la proprietà commutativa ?
grazie mille
Per la dimostrazione va bene dire che essendo \(\displaystyle a_{i,j}+b_{i,j}= b_{i,j}+a_{i,j} \) dove
\(\displaystyle a_{i,j} , b_{i,j} \in R^{m,n} \) allora vale la proprietà commutativa ?
grazie mille
"Dave95":
\(\displaystyle a_{i,j} , b_{i,j} \in R^{m,n} \)
Attento alla notazione: in questo modo stai dicendo che $a_(ij), b_(ij)$ appartengono al gruppo delle matrici $mxxn$,
invece le entrate $a_(ij), b_(ij)$ appartengono a $ RR$ (i pedici indicano solo la collocazioni dei numeri reali all'interno della matrice).
Si, scusami intendevo dire che \(\displaystyle A \in R^{m,n} \) e \(\displaystyle B \in R^{m,n} \). Quindi, è sbagliata tale affermazione \( \displaystyle a_{i,j}+b_{i,j}= b_{i,j}+a_{i,j} \) allora vale la proprietà commutativa ?
"Dave95":
Quindi, è sbagliata tale affermazione \( \displaystyle a_{i,j}+b_{i,j}= b_{i,j}+a_{i,j} \) allora vale la proprietà commutativa ?
qui siamo all´osso proprio o non riesco a seguirti io piu´.. tu hai due matrici \(A,B \in\Bbb{R}^{m,n}\), avendo definito la matrice somma devi mostrare che \(\begin{Vmatrix} a_{ij}+b_{ij}\end{Vmatrix}=A+B=B+A=\begin{Vmatrix} b_{ij}+a_{ij}\end{Vmatrix}\), in sostanza verificare l´uguaglianza tra matrici \(\begin{Vmatrix} a_{ij}+b_{ij}\end{Vmatrix}=...=\begin{Vmatrix} b_{ij}+a_{ij}\end{Vmatrix}\), ovverosia che \(a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}\) naturalmente per ogni \(i\in \{1,2,...,m\}, j \in \{1,2,...,n\}\), ma preso un \(a_{ij}\) ed un \(b_{ij}\) si sa per ipotesi che sono elementi di \(\Bbb{R}\) che e´ per ipotesi campo rispetto all´operazione somma e prodotto, ergo\(^1\) \(+\) gode della proprieta´ commutativa, ergo\(^2\) e´ vero che \(a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}, \forall i\in \{1,2,...,m\}, j \in \{1,2,...,n\} \), ergo\(^3\) l´uguaglianza tra matrici e´vera, ergo\(^4\) quindi ancora (qui non so quanto il mio italiano e´ben usato) vale la commutativa..... ergo\(^i\)
Spero e´ chiaro adesso, a te le altre se ti va..
Ok , perfetto . Grazie mille garnak.olegovitc
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