Matrice diagonalizzabile

[sogno96]

Ho una domanda teorica sulla matrici diagonalizzabili.
So che una matrice per essere diagonalizzabile deve essere quadrata e la sua molteplicità geometrica deve essere uguale a quella algebrica, ora se io ho una matrice 3x3 e due sue righe sono linearmente dipendenti essa non è diagonalizzabile a priori anche se ha 3 autovalori distinti?

[Gi81]

"sogno96":So che una matrice per essere diagonalizzabile (...) la sua molteplicità geometrica deve essere uguale a quella algebrica...

No. Non si parla di molteplicità (algebrica o geometrica) di una matrice, ma di molteplicità algebrica e geometrica degli autovalori della matrice.

"sogno96":... ora se io ho una matrice 3x3 e due sue righe sono linearmente dipendenti essa non è diagonalizzabile a priori anche se ha 3 autovalori distinti?

No. Se ci sono due righe lin. dip., allora $det(A)=0$, cioè $det(A-0*I)=0$, ovvero $0$ è autovalore. Ma può tranquillamente essere diagonalizzabile.
Anzi, se sai che la tua matrice $3 \times 3$ ha tre autovalori distinti, allora è sicuramente diagonalizzabile.

In generale, se c'è un autovalore la cui m. g. minore di m.a., allora la matrice non è diagonalizzabile.
Se invece per tutti gli autovalori vale m.g. uguale a m.a., allora la matrice è diagonalizzabile.


(m.g. vuol dire molteplicità geometrica, m.a. significa molteplicità algebrica)

[sogno96]

Quindi se io ho la matrice:
$ S=( ( 1 , 1 , 2 ),( 1 , 1 , 2 ),( 1, 0 , -2 ) ) $

Essa è diagonalizzabile perchè ha come autovalori:
$ lambda 1=0 $; $ ma=mg $
$ lambda 2=+sqrt6 $; $ ma=mg $
$ lambda 3=-sqrt6 $; $ ma=mg $

Confermi?

[Gi81]

Sì, viene così anche a me:
$|S-xI|= |(1-x,1,2),(1,1-x,2),(1,0,-2-x)| = ...= -x^3+6x = -x(x^2-6)= -x(x-sqrt6)(x+sqrt6) $