Perpendicolarità fra due rette
Buon pomeriggio qualcuno saprebbe aiutarmi? ho queste due rette e devo calcolarne la perpendicolarità.
$ r':{ ( x=1-t' ),( y=2-t' ),( z=-t' ):} $ $ ;r''{ ( bx-y+2=0 ),( x+y-2z+1=0 ):} $
Ho calcolato le direzioni delle due rette, $ vr'=(1,-1,-1) $ e $ vr''=(1,1+2b,1+b) $
Ho calcolato un qualsiasi punto sulle due ratte, $ Pr'=(1,2,0) $ (ho posto t=0) e $ Pr''=(0,2,3/2) $ (ponendo x=0)
Ho scritto dunque la matrice $ ( ( 1 , 0 , -3/2 ),(1 , -1 , -1 ),( 1 , (1+2b) ,(1+b) ) ) $ quindi mi sono trovato $ det(A)=b+3/2 $
dunque per $ b!=-3/2 $ le due rette sono sghembe e per $ b=-3/2 $ sono complanari.
Ora,per calcolare la perpendicolarità ho messo le due rette in un unico sistema $ { ( x=1-t' ),( y=2-t' ),( z=-t' ),( -3/2x-y+2=0 ),( x+y-2z+1=0 ):} $ poi ho sostituito i valori (x,y,z) della retta scritta in forma parametrica nella retta scritta in forma cartesiana.
Dovrebbe uscire un solo valore di t ma me ne trovo 2 (t=-2 e t=-3)...Dove sbaglio?
$ r':{ ( x=1-t' ),( y=2-t' ),( z=-t' ):} $ $ ;r''{ ( bx-y+2=0 ),( x+y-2z+1=0 ):} $
Ho calcolato le direzioni delle due rette, $ vr'=(1,-1,-1) $ e $ vr''=(1,1+2b,1+b) $
Ho calcolato un qualsiasi punto sulle due ratte, $ Pr'=(1,2,0) $ (ho posto t=0) e $ Pr''=(0,2,3/2) $ (ponendo x=0)
Ho scritto dunque la matrice $ ( ( 1 , 0 , -3/2 ),(1 , -1 , -1 ),( 1 , (1+2b) ,(1+b) ) ) $ quindi mi sono trovato $ det(A)=b+3/2 $
dunque per $ b!=-3/2 $ le due rette sono sghembe e per $ b=-3/2 $ sono complanari.
Ora,per calcolare la perpendicolarità ho messo le due rette in un unico sistema $ { ( x=1-t' ),( y=2-t' ),( z=-t' ),( -3/2x-y+2=0 ),( x+y-2z+1=0 ):} $ poi ho sostituito i valori (x,y,z) della retta scritta in forma parametrica nella retta scritta in forma cartesiana.
Dovrebbe uscire un solo valore di t ma me ne trovo 2 (t=-2 e t=-3)...Dove sbaglio?
Risposte
Ciao 
,
Intanto ti faccio notare che il vettore direttore di $r'$ è $v_(r')=(-1,-1,-1)$!
Mentre
Ora, per definizione, due rette sono perpendicolare se, e solo se, lo sono i loro vettori direttori
,Intanto ti faccio notare che il vettore direttore di $r'$ è $v_(r')=(-1,-1,-1)$!
Mentre
$v_(r'')=| ( i , j , k ),( b , -1 , 0 ),( 1 , 1 , -2 ) | =$[nota]Applicando lo sviluppo di Laplace sulla prima riga![/nota]
$=| ( -1 , 0 ),( 1 , -2 ) |i-| ( b , 0 ),( 1 , -2 ) | j +| ( b , -1 ),( 1 , 1 ) | k=$
$ 2 i-(-2b)j+(b+1)k=$
$=(2,2b,b+1)$.
$=| ( -1 , 0 ),( 1 , -2 ) |i-| ( b , 0 ),( 1 , -2 ) | j +| ( b , -1 ),( 1 , 1 ) | k=$
$ 2 i-(-2b)j+(b+1)k=$
$=(2,2b,b+1)$.
Ora, per definizione, due rette sono perpendicolare se, e solo se, lo sono i loro vettori direttori
$hArr <(-1,-1,-1) ((2),(2b),(b+1))> =0$
$hArr -2-2b-b-1=0$
$hArr -3(b+1)=0 hArr b=-1$
$hArr -2-2b-b-1=0$
$hArr -3(b+1)=0 hArr b=-1$
"Magma":
Ciao
Intanto ti faccio notare che il vettore direttore di $r'$ è $v_(r')=(-1,-1,-1)$!
Mentre
$v_(r'')=| ( i , j , k ),( b , -1 , 0 ),( 1 , 1 , -2 ) | =$[nota]Applicando lo sviluppo di Laplace sulla prima riga![/nota]
$=| ( -1 , 0 ),( 1 , -2 ) |i-| ( b , 0 ),( 1 , -2 ) | j +| ( b , -1 ),( 1 , 1 ) | k=$
$ 2 i-(-2b)j+(b+1)k=$
$=(2,2b,b+1)$.
Ora, per definizione, due rette sono perpendicolare se, e solo se, lo sono i loro vettori direttori
$hArr <(-1,-1,-1) ((2),(2b),(b+1))> =0$
$hArr -2-2b-b-1=0$
$hArr -3(b+1)=0 hArr b=-1$
Grazie mille,ho corretto il prodotto vettoriale,comunque sono confuso,non riesco a capire se procedere come mi hai appena indicato oppure mettendo il tutto a sistema (perchè in questo caso mi trovo due valori diversi di t).
Forse ho sbagliato a scrivere l'esercizio mi chiede di trovare la perpendicolare comune p.
Da un sistema puoi sapere se le rette sono sghembe, parallele, incidenti; ma non puoi sapere (almeno per quanto ne so io) l'angolo di incidenza.
Una volta scoperto che le rette sono incidenti dovresti comunque ricorrere al prodotto scalare per vedere quando sono ortogonali.
In ogni caso
Una volta scoperto che le rette sono incidenti dovresti comunque ricorrere al prodotto scalare per vedere quando sono ortogonali.
In ogni caso
due rette sono ortogonali se, e solo se, lo sono i suoi vettori direttori
$hArr$
i due vettori sono l.i. $hArr$ il prodotto scalare dei due vettori è nullo.
$hArr$
i due vettori sono l.i. $hArr$ il prodotto scalare dei due vettori è nullo.
"Magma":
Da un sistema puoi sapere se le rette sono sghembe, parallele, incidenti; ma non puoi sapere (almeno per quanto ne so io) l'angolo di incidenza.
Una volta scoperto che le rette sono incidenti dovresti comunque ricorrere al prodotto scalare per vedere quando sono ortogonali.
In ogni caso
due rette sono ortogonali se, e solo se, lo sono i suoi vettori direttori
$hArr$
i due vettori sono l.i. $hArr$ il prodotto scalare dei due vettori è nullo.
quindi in quest'altro caso per esempio ho $ r:{ ( x=1+t' ),( y=2-t' ),( z=-t' ):} $ e $ r'':{ ( x+by-z+1=0 ),( x+z=0 ):} $
se faccio il prodotto vettoriale $ (1,-1.-1)x(b,-2,-b) $ $ =b=-1 $ siccome ho che $ b!=0 $ posso dire da subito che le due rette non sono perpendicolari? quindi non esiste una perpendicolare comune?
La traccia dell'esercizio è: "determinare per quale valore di $b in R$ le due rette sono perpendicolari?"; giusto?
È il prodotto scalare ($< , >$, io uso questo simbolo per indicarlo) dei due vettori direttori che deve fare zero!
$b$ è solo un parametro che varia in $RR$ e ne devi trovare il valore per cui le due rette sono perpendicolari.
Ritornando all'esercizio:
Essendo $v_(r')=(1,-1.-1)$, $v_(r'')=(b,-2,-b)$ i vettori direttori, allora
affinché siano ortogonali le due rette, devi avere che
Quindi le due rette sono ortogonali se e solo se $b=-1$.
Infatti, se vuoi fare la prova del nove, allora poni $b=-1$ e ottieni $r''=(-1,-2,1)$,
e quindi $< (1,-1,-1)((-1),(-2),(1))> =0$
Che intendi per perpendicolare comune?
"christian95":
se faccio il prodotto vettoriale $ (1,-1.-1)x(b,-2,-b) $ $ =b=-1 $ siccome ho che $ b!=0 $ posso dire da subito che le due rette non sono perpendicolari? quindi non esiste una perpendicolare comune?
È il prodotto scalare ($< , >$, io uso questo simbolo per indicarlo) dei due vettori direttori che deve fare zero!
$b$ è solo un parametro che varia in $RR$ e ne devi trovare il valore per cui le due rette sono perpendicolari.
Ritornando all'esercizio:
Essendo $v_(r')=(1,-1.-1)$, $v_(r'')=(b,-2,-b)$ i vettori direttori, allora
affinché siano ortogonali le due rette, devi avere che
$ =0$
$hArr < (1,-1.-1) ((b),(-2),(-b))> =0$
$hArr b+2+b=2(b+1)=0 hArr b=-1$
$hArr < (1,-1.-1) ((b),(-2),(-b))> =0$
$hArr b+2+b=2(b+1)=0 hArr b=-1$
Quindi le due rette sono ortogonali se e solo se $b=-1$.
Infatti, se vuoi fare la prova del nove, allora poni $b=-1$ e ottieni $r''=(-1,-2,1)$,
e quindi $< (1,-1,-1)((-1),(-2),(1))> =0$
Che intendi per perpendicolare comune?
"Magma":
La traccia dell'esercizio è: "determinare per quale valore di $b in R$ le due rette sono perpendicolari?"; giusto?
[quote="christian95"]
se faccio il prodotto vettoriale $ (1,-1.-1)x(b,-2,-b) $ $ =b=-1 $ siccome ho che $ b!=0 $ posso dire da subito che le due rette non sono perpendicolari? quindi non esiste una perpendicolare comune?
È il prodotto scalare ($< , >$, io uso questo simbolo per indicarlo) dei due vettori direttori che deve fare zero!
$b$ è solo un parametro che varia in $RR$ e ne devi trovare il valore per cui le due rette sono perpendicolari.
Ritornando all'esercizio:
Essendo $v_(r')=(1,-1.-1)$, $v_(r'')=(b,-2,-b)$ i vettori direttori, allora
affinché siano ortogonali le due rette, devi avere che
$ =0$
$hArr < (1,-1.-1) ((b),(-2),(-b))> =0$
$hArr b+2+b=2(b+1)=0 hArr b=-1$
$hArr < (1,-1.-1) ((b),(-2),(-b))> =0$
$hArr b+2+b=2(b+1)=0 hArr b=-1$
Quindi le due rette sono ortogonali se e solo se $b=-1$.
Infatti, se vuoi fare la prova del nove, allora poni $b=-1$ e ottieni $r''=(-1,-2,1)$,
e quindi $< (1,-1,-1)((-1),(-2),(1))> =0$
Che intendi per perpendicolare comune?[/quote]
ok tutto chiaro,per perpendicolare comune intendo una retta che sia perpendicolare sia ad r' che r'' credo
Poi non ho capito un altra cosa,se b=-1 è il valore del parametro per il quale le due rette sono perpendicolari,come mai la teoria dice che se vr' x vr''=0 ed un punto Pr della retta r appartiene alla retta s allora sono coincidenti,mentre se non appartiene sono parallele,a me esce che non appartiene,ma quindi come fanno ad essere perpendicolari e pure parallele !!!! sto impazzendo,help!!
Per evitare confusione, prima di rispondere, voglio capire se con $v_(r') xx v_(r'')$ indichi il prodotto vettoriale o scalare?
Vettoriale
"Magma":
Per evitare confusione, prima di rispondere, voglio capire se con $v_(r') xx v_(r'')$ indichi il prodotto vettoriale o scalare?
Vettoriale,il mio dubbio è,se b=-1 è il valore per il quale le due rette sono perpendicolari e NON hanno nessun punto in comune,dunque NON sono parallela ma sghembe? giusto?
"christian95":
Vettoriale,il mio dubbio è,se b=-1 è il valore per il quale le due rette sono perpendicolari e NON hanno nessun punto in comune,dunque NON sono parallela ma sghembe? giusto?
Questa proposizione non ha molto senso...
Due rette complanari (cioè che giacciono nello stesso piano) sono parallele oppure[nota]In questo caso la "o" è esclusiva![/nota] sono incidenti.
Quindi rette sghembe significa che sono rette non complanari (cioè appartengono a piani distinti), ma ciò non impedisce loro di assumere delle posizioni ortogonali nello spazio.
È chiaro quindi che sei hai due rette ortogonali ed esse hanno un punto in comune allora sono complanari, se, invece, non hanno alcun punto in comune, sono sghembe.
Rette parallele sono complanari.
"ROMA91":
Rette parallele sono complanari.
Sì, giusto.
Ho presento pali per lucciole perché pensavo a due rette parallele formate da piani distinti, però alla fine esiste comunque un altro piano che le può contenere entrambe!
Grazie
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