Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao a tutti.
Secondo voi è possibile avere una curva nello spazio affine $\mathbb{A}^2(\mathbb{R})$ definita da un polinomio irriducibile $f(x,y)$ tale che la curva sia irriducibile a meno di punti isolati e che abbia almeno 2 punti isolati?
Ad esempio il Concoide di Sluse $(x-1)(x^2+y^2)=x^2$ è una cubica irriducibile che ha un solo punto isolato $(0,0)$, il cui polinomio è irriducibile in $\mathbb{R}[x,y]$.
Ciao a tutti premetto che con la matematica in generale non sono una cima quindi scusatemi se non uso il lessico appropriato o do prova di non averci capito un **** (perché in parte è cosi).
la matrice di partenza è questa
$((9,-2,0),(-2,6,0),(0,0,5))$
Gli autovalori mi vengono $\lambda_1 = 10$ con molteplicità 1 e $\lambda_2 = 5$ con molteplicità 2
Risolvendo il sistema lineare omogeneo per il primo autovalore ho il sistema
$\{(-x + 2y + 0z = 0),(-2x -4y + 0z = 0),(0x + 0y -5z = 0):}$
Da cui ricavo $x = -2y$ e $z = 0$ . ...
Ciao a tutti ragazzi, spero di essere nella sezione giusta, altrimenti mi scuso anticipatamente.
Volevo porre alla vostra attenzione un esercizio che ho trovato in una soglia d'esame per geometria 1.
Il quesito chiedeva
Sia A una matrice tale che $ ( ( 1 , 1, pi ),( 0 , 6 , -7 ),(0 , 0 , 1 ) ) $ = $ A( ( 1 , 0, 0 ),( 3 , 2 , 0 ),(5 , 7 , 1 ) ) $
allora :
(A) det(A) = 3
(B) det(A) = 6
(C) det(A) = $pi
(D) det(A) = 5
(E) det(A) = 1
Io non riesco a vedere la risoluzione, probabilemente è una cosa banale che saprei gia fare, ma non riesco proprio a ...
Salve Ragazzi,
Vi volevo chiedere alcune cose
allora io le definizione sia di combinazione lineare anche di generatori e basi so quali sono,
ma non riesco a capire i legami che che ci sono tra questi,
riuscite a darmi una spiegazione di questa cosa in maniera dettagliata..
Grazie mille
Salve, ho questo esercizio:
Risolvere il sistema di equazioni lineari $ dot(z) =Az $ ,
con z vettore di due componenti e $ A=cos(theta)sigma_1+sin(theta)sigma_2 $ dove le sigma sono matrici di Pauli.
Il dato iniziale è $ z(0)=(1,1)^T $ .
So che la soluzione dipende semplicemente dall'esponenziale $ e^(At) $ .
La matrice A scritta esplicitamente contiene tutti termini esponenziali, quindi anche i suoi autovalori sono esponenziali. Una volta trovati, posso porre la matrice in forma ...
Salve,
sto guardando una spiegazione relativa alla rotazione di coordinate 2D nel seguente link:
http://www.ripmat.it/mate/d/dc/dcgb.html
La figura BHAR dovrebbe essere un quadrato e quindi il segmente HA = RA.
RA si può calcolare come X*sen(alfa).
Ma cosi facendo non porta la matrice di rotazione di eulero.
Dove sbaglio?
Ciao ragazzi,
Ho dei problemi con questo esercizio:
Si consideri la forma bilineare $ varphi(k) : R^3xxR^3 rarr R^3 $ canonicamente associata alla seguente matrice di Gram:
$ ( ( 2 , k^3+4k^2+k-5 , 0 ),( 1 , 2 , 0 ),( 0 , 0, k ) ) $
al variare del paramentro $ k $
a) Posto $ k=-2 $, determinare un vettore isotropo di $ varphi(-2) $.
b) Posto $ k=-3 $, determinare una base del coniugato rispetto a $ varphi(-3) $ del sottospazio $ U : x+2y-3z=0 $.
Io ho fatto in questo modo:
a) La matrice diventa
...
Buonasera non so se è la sezione giusta per la domanda che sto per porvi, chiedo scusa in anticipo.
Sto scrivendo la mia tesi per un master in uk, non è di geometria ma di matematica applicata alla biologia. Il problema è che dovrei fare dei disegni geometrici molto semplici, in pratica un segmento, un cerchio, degli angoli e dei vettori, ho provato con pani o roba simile (perché davvero le figura che devo fare sono basilari) ma non è che stia venendo un gran che... voi avete qualche ...
Determinare la distanza tra due rette $r$ ed $s$ dopo aver dimostrato che sono parallele
$\r{(x + z-2=0),(y + z-3 = 0):}$ $\s{(x =y+1),(z = -y+3):}$
ragazzi non so come svolgere questo esercizio dato che è la prima volta che mi capita.
Grazie in anticipo a chi mi aiuta.
Buon giorno a tutti
Sono alle prime armi con argomenti avanzati di geometria differenziale, e quindi vengo a chiedere aiuto anche su un facile esercizio
Devo calcolare le componenti del gradiente in coordinate sferiche, usando il tensore metrico.
Inizio richiamando il cambio di variabili che mi dà le coordinate sferiche
\[
\begin{cases}
x = \rho \cos \varphi \sin \psi \\
y = \rho \sin \varphi \sin \psi \\
z = \rho \cos \psi
\end{cases}.
\]
Ora voglio procedere usando la formula
\[
(\nabla ...
Ciao a tutti,
ho svolto un esercizio, ma non so se ho fatto bene.
Allora l'esercizio mi chiede:
Dati i seguenti vettori in R^3:
x1 = (1, 3, 0)
x2 = (2, 0, 1)
x3 = (0, 1, 0)
verificare che costituiscono una base per R^3
SVOLGIMENTO
Metto a sistema:
{ x + 3y = 0
{ 2x + z = 0
{ y = 0
svolgo e ottengo
{x = 0
{y = 0
{z = 0
Siccome i vettori sono linearmente indipendenti e il loro numero è uguale a 3, formano una base in R^3
Ho fatto bene. ? Grazie.
Lo so, lo so, è il secondo post in poco tempo... Però a settembre proverò Algebra per la quarta volta e sarei piuttosto deciso a passarla! Cercate di capirmi Ecco l'esercizio:
Data la matrice:
$ M = | ( -k , 0 , 0 , -k+1 ),( 0 , k^2 , 0 , 0 ),( 0 , -k+1 , k^2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -k ) | $
devo determinare per quali valori di k reale, non nullo e diverso da zero, (non mi fa mettere il simbolo dei reali...?) la matrice è diagonalizzabile.
Ora, rispetto la prima colonna al primo passaggio e l'ultima riga al secondo, ho che il polinomio caratteristico vale:
...
Ciao gente! Volevo chiedervi se il modo in cui risolvo l'equazione e determino gli elementi $ w in C $ tali che $ w^4 = y $ di:
$ { ( bar(y) + 2y +i +1 = 5/(1-2i)),( y = a+ib):} $
è corretto.
Sostanzialmente, svolgendo i calcoli ottengo: $ 3a+ib = i $ $ 3a+ib = i rarr { ( 3a=0 ),( ib=i ):} $
da cui $ y = i $
Tale numero ha modulo: $ |y| = 1 $
e angolo: $ { ( a = |y|costheta ),( b = |y|sentheta ):} <br />
rarr theta = pi/2+2kpi $
E poi non si tratterà di altro che applicare la solita formula per estrarre le radici:
$ y_(k)= |y|^(1/n)*[cos((theta+2kpi)/n)+i*sen(((theta+2kpi))/n) $ con ...
Salve a tutti,avrei un problemino con la dimostrazione del secondo teorema di Laplace, qualcuno può aiutarmi?
Riporto l'enunciato del secondo teorema di Laplace :
Sia A una matrice quadrata di ordine n. La somma dei prodotti degli elementi di una sua riga (o colonna) per i complementi algebrici degli elementi di un'altra riga ( o colonna) vale zero.
Dimostrazione a parole :
È diretta conseguenza del teorema di Laplace I. Infatti la somma dei prodotti degli elementi di una riga (colonna) per i ...
Salve a tutti,
sono alle prese con esercizi del tipo "dato il sistema di vettori {(1,0,1),(0,-1,0)}, stabilire se è un sistema di generatori".
Per definizione io so che se quel sistema è un sistema di generatori, da quei due vettori posso ricavarmi qualsiasi vettore in R^3 (e quindi, secondo definizione, quei due vettori non lo sono). Però, su altri "lidi" ho letto che se la matrice associata ha rango massimo, i vettori sono sistema di generatori...
quel sistema ha effettivamente rango massimo ...
Ciao ragazzi mi sono rifatto ad altri post ed ho svolto questo esercizio, vorrei sapere da qualcuno di voi se è corretto.
Data la matrice verificare che sia diagonalizzabile e in caso affermativo verificare che la matrice diagonale D è simile ad A.
$A=((2,1,-1),(1,0,1),(-1,1,2))$
Svolgimento:
Calcolo il polinomio caratteristico: Per problemi di scrittura dico che per calcolare il polinomio caratteristico basta sottrarre alla diagonale principale $\lambda$ , per poi calcolare il ...
Ciao ragazzi, questo è il mio primo post qui sul forum e spero di rispettare l'intero regolamento.
Ho questo esercizio:
Si consideri la forma bilineare di $ R^3 $ :
$ φ(( x; y; z) ; ( x’; y’; z’)) = x x’ + 3yy’ + 2zz’ + xz’ + zx’ $
a) Mostrare che la forma bilineare è un prodotto scalare in $ R^3 $;
b) sia $ W $ il sottospazio di $ R^3 $ generato dal vettore $ (1; 0; 0) $. Costruire una base ortonormale del complemento ortogonale di W rispetto al prodotto scalare $ φ $.
a) Io ho ...
salve ragazzi ho bisogno del vostro aiuto non riesco a risolvere esercizi tranne il 4 ch riguarda il Rango non è che mi potete aiutare ? grazie in anticipo!
vi allego la foto con gli esercizi .
Mi potete dire se sto svolgendo correttamente questo esercizio?
Sia $\alpha = dz -xdy \in A^1 (R^3)$, esiste $\gamma \in A^1(R^3) $ tale che $d\alpha = \gamma \wedge \alpha$ ?
Io ho fatto così:
Posso scrivere $ \gamma = a dx + b dy + c dz$ con $a, b, c$ funzioni di classe C-infinito su $R^3$, si ha che:
$ \gamma \wedge \alpha = a dx \wedge dy - xa dx \wedge dy + b dy \wedge dz + cx dy \wedge dz $
$d \alpha = - dx \wedge dy$
Dunque eguagliando i coefficienti si trova $ a = 1/x$ che è assurdo perché $a$ deve essere C-infinito su $R^3$. Giusto? Altre strade?
Salve,
devo svolgere questo esercizio che mi dice:
Si determini un vettore che sia combinazione conica dei seguenti tre vettori: x1 = (3, 0, 1); x2 = (5, 4, 1); x3 = (1, 3, 8)
La definizione di combinazione conica è la seguente:
Un vettore y è combinazione CONICA dei vettori x1, x2, ..., xn se esistono a1, a2, ..., an numeri reali tali che:
1) a1, a2, ..., an >= 0
2) y = (a1)(x1) + (a2)(x2) + ... + (an)(xn)
Come numeri reali il libro ha scelto a1 = 1/3; a2 = 1; a3 = 0;
Ma si poteva ...
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