Dubbio sul secondo vettore indipendente di un autospazio e la relativa base ortonormale
Ciao a tutti premetto che con la matematica in generale non sono una cima quindi scusatemi se non uso il lessico appropriato o do prova di non averci capito un **** (perché in parte è cosi).
la matrice di partenza è questa
$((9,-2,0),(-2,6,0),(0,0,5))$
Gli autovalori mi vengono $\lambda_1 = 10$ con molteplicità 1 e $\lambda_2 = 5$ con molteplicità 2
Risolvendo il sistema lineare omogeneo per il primo autovalore ho il sistema
$\{(-x + 2y + 0z = 0),(-2x -4y + 0z = 0),(0x + 0y -5z = 0):}$
Da cui ricavo $x = -2y$ e $z = 0$ . Quindi il primo autospazio è costituito dall'autovettore $((-2),(1),(0))$
Per il secondo autovalore 5 ottengo il sistema
$\{(4x -2y + 0z = 0),(-2x + y + 0z = 0),(0x + 0y + 0z = 0):}$
Data la molteplicità 2, i vettori indipendenti devono essere 2 e dal sistema ho il generico vettore $((y/2),(y),(0))$
adesso non so se la procedura è giusta ma il primo che si ricava è $((1/2),(1),(0))$ ed il secondo penso sia (guardando anche altri esercizi sul web dove veniva indicato che il valore di y si poteva scegliere arbitrariamente) $((1),(2),(0))$
Quindi la base ortonormale si trova dividendo la norma di ogni vettore per ogni sua componente.
Il mio dubbio è: nel secondo autospazio cioè quello con due vettori, la norma si calcola prendendo il primo vettore o il secondo o tutti e due (però dopo ci sarebbero due basi ortonormali).
Grazie in anticipo per le risposte.
la matrice di partenza è questa
$((9,-2,0),(-2,6,0),(0,0,5))$
Gli autovalori mi vengono $\lambda_1 = 10$ con molteplicità 1 e $\lambda_2 = 5$ con molteplicità 2
Risolvendo il sistema lineare omogeneo per il primo autovalore ho il sistema
$\{(-x + 2y + 0z = 0),(-2x -4y + 0z = 0),(0x + 0y -5z = 0):}$
Da cui ricavo $x = -2y$ e $z = 0$ . Quindi il primo autospazio è costituito dall'autovettore $((-2),(1),(0))$
Per il secondo autovalore 5 ottengo il sistema
$\{(4x -2y + 0z = 0),(-2x + y + 0z = 0),(0x + 0y + 0z = 0):}$
Data la molteplicità 2, i vettori indipendenti devono essere 2 e dal sistema ho il generico vettore $((y/2),(y),(0))$
adesso non so se la procedura è giusta ma il primo che si ricava è $((1/2),(1),(0))$ ed il secondo penso sia (guardando anche altri esercizi sul web dove veniva indicato che il valore di y si poteva scegliere arbitrariamente) $((1),(2),(0))$
Quindi la base ortonormale si trova dividendo la norma di ogni vettore per ogni sua componente.
Il mio dubbio è: nel secondo autospazio cioè quello con due vettori, la norma si calcola prendendo il primo vettore o il secondo o tutti e due (però dopo ci sarebbero due basi ortonormali).
Grazie in anticipo per le risposte.
Risposte
A occhio vedi subito che \(\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}\) è un autovettore relativo a \(\lambda_2=5\). I due autovettori che hai postato tu non vanno bene perché non sono linearmente indipendenti.
L'errore che commetti è nel risolvere il secondo sistema. La soluzione corretta è
\[
\left\{\begin{bmatrix} \frac12 y \\ y\\ z\end{bmatrix} \ :\ y,z \in \mathbb R\right\}\]
L'errore che commetti è nel risolvere il secondo sistema. La soluzione corretta è
\[
\left\{\begin{bmatrix} \frac12 y \\ y\\ z\end{bmatrix} \ :\ y,z \in \mathbb R\right\}\]
Ok ho capito perché z è libero di variare nella terza equazione.
Quindi il vettore $((0),(0),(1))$ costituisce la base ortonormale del secondo autospazio. Grazie!
Quindi il vettore $((0),(0),(1))$ costituisce la base ortonormale del secondo autospazio. Grazie!
Il secondo autospazio ha dimensione (leggasi molteplicità geometrica) pari a 2... e una sua base deve avere dimensione 2 ! (la dimensione per definizione è la cardinalità di una base). Dire che $((0),(0),(1))$ è una base ortonormale del secondo autospazio è errato perché il secondo autospazio deve avere 2 vettori.
dissonance infatti ti ha scritto la soluzione corretta, ora devi assegnare due parametri liberi, non solamente uno come hai appena fatto
Il primo vettore sarà $((0),(0),(1))$, il secondo $((1),(2),(0))$.
Per far sì che sia una base ortonormale va bene il procedimento che hai proposto tu...
dissonance infatti ti ha scritto la soluzione corretta, ora devi assegnare due parametri liberi, non solamente uno come hai appena fatto
Il primo vettore sarà $((0),(0),(1))$, il secondo $((1),(2),(0))$.
Per far sì che sia una base ortonormale va bene il procedimento che hai proposto tu...
ah giusto i vettori devono essere due. Quando mai non ho fatto lo scientifico prima di prendere economia!
Grazie feddy!
Grazie feddy!
Beh, queste cose non si vedono allo scientifico te lo posso assicurare. Algebra lineare si fa solo all'università ad quello che so io.
E' tutta questione di studio.
Ciao
E' tutta questione di studio.
Ciao
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