Equazione differenziale

[Deimos90rm]

Salve, ho questo esercizio:

Risolvere il sistema di equazioni lineari $ dot(z) =Az $ ,

con z vettore di due componenti e $ A=cos(theta)sigma_1+sin(theta)sigma_2 $ dove le sigma sono matrici di Pauli.

Il dato iniziale è $ z(0)=(1,1)^T $ .

So che la soluzione dipende semplicemente dall'esponenziale $ e^(At) $ .
La matrice A scritta esplicitamente contiene tutti termini esponenziali, quindi anche i suoi autovalori sono esponenziali. Una volta trovati, posso porre la matrice in forma diagonale, trovare la matrice che la diagonalizza, dopodiché fare l'esponenziale di matrice è semplice, ma mi verrebbero fuori termini di esponenziali di esponenziali, mi sembra strano. Ho sbagliato qualcosa?

[Oznerol.92]

La soluzione è, come hai detto tu,
\(\displaystyle z(t)=e^{At}z(0) \)
Osserviamo che
\(\displaystyle A= \left ( \matrix{0 & e^{-i\theta} \\ e^{i\theta} & 0 }\right ) \)
e che i vettori
\(\displaystyle v_1 = \left ( 1, e^{i\theta} \right ) \\ v_2 = \left ( -1, e^{i\theta} \right ) \)
sono autovettori di \(\displaystyle A \), con relativi autovalori \(\displaystyle 1 \) e \(\displaystyle -1 \).
Ora poniamo
\(\displaystyle M =\left ( \matrix{ 1 & -1 \\ e^{i\theta} & e^{i\theta} } \right ) \)
e
\(\displaystyle D = \left ( \matrix{ 1 & 0 \\ 0 & - 1 } \right ) \)
Dato che
\(\displaystyle e^{At}= e^{ MDM^{-1}t} = Me^{Dt}M^{-1} \)
allora
\(\displaystyle e^{At} = \frac{1}{2e^{i\theta}} \left ( \matrix{ 1 & -1 \\ e^{i\theta} & e^{i\theta} } \right ) \left ( \matrix{ e^t & 0 \\ 0 & e^{-t} } \right ) \left ( \matrix{ e^{i\theta} & 1 \\ -e^{i\theta} & 1 } \right ) \)
Svolgendo i calcoli, si ottiene che
\(\displaystyle e^{At}= \left ( \matrix{ \cosh t & e^{-i\theta} \sinh t \\ e^{i\theta} \sinh t & \cosh t } \right ) \)

[Deimos90rm]

Ah ok gli autovalori non sono esponenziali, ecco cosa avevo sbagliato xD
Grazie mille!