Curve irriducibili

[Davi901]

Ciao a tutti.
Secondo voi è possibile avere una curva nello spazio affine $\mathbb{A}^2(\mathbb{R})$ definita da un polinomio irriducibile $f(x,y)$ tale che la curva sia irriducibile a meno di punti isolati e che abbia almeno 2 punti isolati?

Ad esempio il Concoide di Sluse $(x-1)(x^2+y^2)=x^2$ è una cubica irriducibile che ha un solo punto isolato $(0,0)$, il cui polinomio è irriducibile in $\mathbb{R}[x,y]$.

[j18eos]

In generale, la famiglia di curve cubiche piane irriducibili:
\[
y^2=x(x-1)(x-\lambda)
\]
con \(\displaystyle\lambda\in\mathbb{R}\) risponde alla tua domanda!

[Davi901]

"j18eos":In generale, la famiglia delle curve cubiche piane irriducibili:
\[
y^2=x(x-1)(x-\lambda)
\]
con \(\displaystyle\lambda\in\mathbb{R}\) risponde alla tua domanda!

Ti ringrazio dell'esempio ma non riesco a capire come trovare i due (o più) punti isolati su tali curve

[j18eos]

Scusami, non avevo capito che volevi più di un punto isolato...

Se trovo del tempo, cercherò di capire se una sezione piana (e reale) della superficie cubica diagonale di Clebsch:
\[
x+x^2y+y^2z+z^2=0
\]
può aiutare.

[Davi901]

Grazie mille. In linea teorica bisognerebbe trovare una curva irriducibile il cui cono tangente si annulli in due punti reali distinti dotati di rette tangenti complesse coniugate. Giusto?

[j18eos]

CIa0, scusami per la latitanza [ot]ero impegnato a rappacificarmi col gruppo fondamentale, il primo gruppo di omologia e con la teoria degli stacks; però mi sono bisticciato coi fibrati vettoriali.[/ot]ti scrivo per dirti che cono la superficie di Clebsch non sono riuscito a trovare nulla.

Forse con un ragionamento topologico si riesce a dimostrare qualcosa...

[j18eos]

Non conosco la risposta; ma la domanda non è affatto banale, come puoi leggere a riguardo del teorema di Harnack sulle curve!

[spugna2]

Se ho ben capito quello che stai chiedendo (cosa di cui dubito fortemente ), $(x^2-4)^2(x^2-1)+y^2=0$ dovrebbe funzionare...