Esercizio: base ortonormale del complemento ortogonale rispetto al prodotto scalare

[tub1]

Ciao ragazzi, questo è il mio primo post qui sul forum e spero di rispettare l'intero regolamento.

Ho questo esercizio:

Si consideri la forma bilineare di $ R^3 $ :

$ φ(( x; y; z) ; ( x’; y’; z’)) = x x’ + 3yy’ + 2zz’ + xz’ + zx’ $

a) Mostrare che la forma bilineare è un prodotto scalare in $ R^3 $;

b) sia $ W $ il sottospazio di $ R^3 $ generato dal vettore $ (1; 0; 0) $. Costruire una base ortonormale del complemento ortogonale di W rispetto al prodotto scalare $ φ $.

a) Io ho determinato la matrice associata al prodotto scalare:

$ ( ( 1 , 0 ,1 ),( 0,3,0),( 1,0,2 ) ) $

Ho considerato i minori principali (nord-ovest) e i loro determinanti:

$ det(M1)=1 $

$ det(M2)=3 $

$ det(M3)=3 $

Tutti e tre i determinanti sono positivi allora posso affermare che la forma bilineare sopra scritta è un prodotto scalare, visto che un prodotto scalere è una forma bilineare simmetrica definita positiva.

b) A questo punto devo trovare il complemento ortogonale del sottospazio generato dal vettore e trovare una base. Poi usando Gram-Schmidt trovo una base ortonormale, giusto?

Per trovare il complemento ortogonale come faccio?

E' questo?

$ ( 1 \ \ 0 \ \ 0 ) xx ( ( x ),( y ),( z ) ) = ( 0 ) $

Da qui mi trovo una base:

$ B={(0,1,0),(0,0,1)} $

Chiamo $ a=(0,1,0) b=(0,0,1) $

Usando l'algoritmo di Gram-Schmidit trovo che:

$ w1 = a = (0,1,0) $

$ w2 = b - ((b*w1)/(w1*w1))*w1 = b =(0,0,1) $

perché il prodotto scalere di $ b*w1 $ secondo il prodotto scalare dato, e non secondo quello canonico, mi porta $ 0 $

Questi due vettori sono ortgonali e bisogna dividerli per la loro norma affinché troviamo dei vettori ortonormali, ma in questo caso la norma di entrambi è pari a $ 1 $ e quindi possiamo concludere che i vettori $ w1 $ e $ w2 $ sono una base ortonormale del complemento ortogonale.

Non sono sicurissimo che il punto b) vada risolto in questo modo. Voi cosa ne pensate?

Grazie

[NoSignal]

Per trovare un complemento ortogonale di $W$ rispetto a $φ$ in questo caso basta osservare che $φ((x;y;z);(a,0,0))=a(x+z)$;
quindi per un generico vettore $(x,y,z) in RR^3$ la condizione di ortogonalità per il vettore $(a,0,0) in W$ è $x=-z$, cosi facendo annulli infatti il prodotto scalare, quindi ogni vettore della forma $(x,y,-x)$ è ortogonale ad un vettore di $W$, d'altra parte $(x,y,-x)=x(1,0,-1)+y(0,1,0)$ quindi una base per $W^\bot$ è ${(1,0,-1),(0,1,0)}$, a questo punto potresti effettuare l'algoritmo di Gram-Shmidt ma se osservi bene la base che abbiamo trovato contiene vettori ortogonali infatti se svolgi i calcoli $φ((1,0,-1);(0,1,0))=0$ basta quindi normalizzare i vettori.

Aggiungo che la condizione di ortogonalità è legata al prodotto scalare fissato, non ha molto senso trovare il complemento ortogonale di $W$ secondo il prodotto scalare standard(o canonico), e poi ortonormalizzare una sua base considerando il prodotto scalare $φ$.

[tub1]

Sei stato chiarissimo. Grazie mille