Verificare se una funzione è continua
Ciao a tutti,
tanto per cambiare ho quest'esercizio di topologia di cui però non possiedo la soluzione.
Ho fatto così:
La loro unione è la base di aperti.
a)
Sia ora $([-1,1],\tau_i)$ lo spazio topologico di partenza. Con $\tau_i$ topologia indotta da quella euclidea.
Ho preso (tanto per iniziare) come aperto di $\tau$ l'insieme $U=(0,1) \cup {2}$. Si ha $f^{-1}(U)=(-1,1] \in \tau_i$ in quanto $[-1,1] \cap (-1,2)=(-1,1]$.
Prendendo però, per esempio, $V=(1/2,1) \cup {2}$ ho che $f^{-1}(V)=(-1,-1/2) \cup (1/2,1]$, che non appartiene a $\tau_i$ in quanto $(-1,-1/2)$ non posso ottenerlo come intersezione di $[-1,1]$ con un aperto della topologia euclidea.
Pertanto $f$ non è continua.
b)
Ho provato come prima a prendere $U=(0,1) \cup {2}$. Ho che $f^{-1}(U)=(-1,1]$ poiché il suo complementare è ${-1}$, che essendo finito soddisfa la condizione per appartenere a $\tau_{cof}$.
Però, per $V=(1/2,1) \cup {2}$, come prima si ha che $f^{-1}(V)=(-1,-1/2) \cup (1/2,1]$. Il suo complementare in $[-1,1]$ è $[-1/2,1/2]$, che non è finito e perciò non appartiene a $\tau_{cof}$. Quindi $f$ non è continua.
Detto sinceramente, non sono per niente sicuro della mia risoluzione. Mi sembra strano che basti prendere lo stesso aperto e la il risultato non cambi. Un qualsiasi suggerimento o correzione è ben accetto](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
tanto per cambiare ho quest'esercizio di topologia di cui però non possiedo la soluzione.
Sia $X=[0,1] \cup {2}$ sottoinsieme di $RR$. Prendiamo la base di aperti $\mathcal{B}$ ottenuta come unione di tutti gli aperti della topologia euclidea indotta su $[0,1]$ e tutti gli insiemi del tipo $(x,1) \cup{2}$, $x \in [0,1)$. Prendiamo la topologia $\tau$ generata di $\mathcal{B}$.
Consideriamo la funzione $f:[-1,1] \rarr (X,\tau)$, con $f(x)= |x| " if " x!=1, f(1)=2$
a) $f$ è continua se $[-1,1]$ è dotato della topologia indotta da quella euclidea?
b) $f$ è continua se $[-1,1]$ è dotato della topologia cofinita?
Ho fatto così:
- 1. Topologia euclidea indotta su $[0,1]$. Gli aperti sono insiemi ottenuti come intersezione tra $[0,1]$ e un aperto $(a,b)$ della topologia euclidea. Perciò esempi di aperti sono $(0,1)$ , $[0,1/2)$.
2. Insiemi della forma $(x,1) \cup {2}$ , $x \in [0,1)$. Per esempio $(0,1) \cup {2}$, $(1/2,1) \cup {2}$.
La loro unione è la base di aperti.
a)
Sia ora $([-1,1],\tau_i)$ lo spazio topologico di partenza. Con $\tau_i$ topologia indotta da quella euclidea.
Ho preso (tanto per iniziare) come aperto di $\tau$ l'insieme $U=(0,1) \cup {2}$. Si ha $f^{-1}(U)=(-1,1] \in \tau_i$ in quanto $[-1,1] \cap (-1,2)=(-1,1]$.
Prendendo però, per esempio, $V=(1/2,1) \cup {2}$ ho che $f^{-1}(V)=(-1,-1/2) \cup (1/2,1]$, che non appartiene a $\tau_i$ in quanto $(-1,-1/2)$ non posso ottenerlo come intersezione di $[-1,1]$ con un aperto della topologia euclidea.
Pertanto $f$ non è continua.
b)
Ho provato come prima a prendere $U=(0,1) \cup {2}$. Ho che $f^{-1}(U)=(-1,1]$ poiché il suo complementare è ${-1}$, che essendo finito soddisfa la condizione per appartenere a $\tau_{cof}$.
Però, per $V=(1/2,1) \cup {2}$, come prima si ha che $f^{-1}(V)=(-1,-1/2) \cup (1/2,1]$. Il suo complementare in $[-1,1]$ è $[-1/2,1/2]$, che non è finito e perciò non appartiene a $\tau_{cof}$. Quindi $f$ non è continua.
Detto sinceramente, non sono per niente sicuro della mia risoluzione. Mi sembra strano che basti prendere lo stesso aperto e la il risultato non cambi. Un qualsiasi suggerimento o correzione è ben accetto
Risposte
Nel caso a: \(\displaystyle f^{-1}(V)\) è un sottoinsieme aperto di \(\displaystyle[-1,1]\); però \(\displaystyle f\) [strike]non[/strike] è continua lo stesso: come fai? 
Grazie per la risposta ! Scusa per la domanda, ma come fai a dire che è un aperto di $[-1,1]$ con la topologia indotta? Non mi sembra lo sia 
Certo che lo è, in quanto:
\[
\left]-1,-\frac{1}{2}\right[\cup\left]\frac{1}{2},1\right]=[-1,1]\cap\left(\left]-1,-\frac{1}{2}\right[\cup\left]\frac{1}{2},2\right[\right).
\]
\[
\left]-1,-\frac{1}{2}\right[\cup\left]\frac{1}{2},1\right]=[-1,1]\cap\left(\left]-1,-\frac{1}{2}\right[\cup\left]\frac{1}{2},2\right[\right).
\]
Oh certo... scusami.
Mmm per provare che non è continua dovrei riuscire a trovare un aperto la cui controimmagine non è aperta, ma sinceramente non riesco a trovarne manco uno.
Mmm per provare che non è continua dovrei riuscire a trovare un aperto la cui controimmagine non è aperta, ma sinceramente non riesco a trovarne manco uno.
Intuitivamente: la funzione \(\displaystyle f\) ristretta \(\displaystyle x\in]-1,1[\to|x|\in[0,1[\) è continua (esercizio!); quindi qual è il punto che potrebbe "rompe le uova nel paniere" alla continuità di \(\displaystyle f\)?
il punto in questione è ${1}$. Quando prendo la controimmagine con l'$1$ incluso devo contare il punto $2$. Solo che non so come possa esistere un aperto che contiene pure $1$ come estremo destro, forse non mi è chiara la base della topologia, ma mi pare che l'uno venga escluso...
Quando prendo la controimmagine con l'$1$ incluso devo contare il punto $2$. Solo che non so come possa esistere un aperto che contiene pure $1$ come estremo destro, forse non mi è chiara la base della topologia, ma mi pare che l'uno venga escluso...
Ti chiarisco un po' la tua idea: \(\displaystyle f\) [strike]non[/strike] dovrebbe essere continua in \(\displaystyle1\) in quanto c'è un salto nel suo grafico al valore \(\displaystyle2\); quindi [strike]dovrebbe esserci un[/strike] per ogni intorno aperto di \(\displaystyle2\) la [strike]cui[/strike] anti-immagine mediante \(\displaystyle f\) [strike]non[/strike] è un aperto di \(\displaystyle[-1,1]\) secondo la topologia naturale.
[strike]Ne riesci a trovare almeno uno?[/strike]
EDIT Ho sbagliato!
[strike]Ne riesci a trovare almeno uno?[/strike]
EDIT Ho sbagliato!
Non so se "vale". ma se prendo $f^{-1}({2})={1} \notin \tau_e$. Il mio problema più grande sta nel fatto che non ho capito, credo, la base che genera la topologia $\tau$. Per esempio
Mi sono reso conto che ho sbagliato io: \(\displaystyle f\) è continua...
No: \(\displaystyle\{2\}\) non è un aperto; come potresti aggiustare il ragionamento? Com'è fatto il generico intorno aperto di \(\displaystyle2\)?
No: \(\displaystyle\{2\}\) non è un aperto; come potresti aggiustare il ragionamento? Com'è fatto il generico intorno aperto di \(\displaystyle2\)?
Dire del tipo $(x,1) \cup {2}$, visto che in $X$ $2$ è "isolato"
Esatto, con \(\displaystyle x\in[0,1[\);
sai calcolarne la contro immagine?
sai calcolarne la contro immagine?
Ti ringrazio infinitamente per l'aiuto che mi stai dando
Dato $U=(x,1) \cup {2}$, $f^{-1}(U)=(-1,-x) \cup (x,1]$, che per ogni $x \in[0,1[$ è aperto in $\tau_e$.
Per esempio, per $x=1/2$ si che che: $f^{-1}(U)=(-1,-1/2) \cup (1/2,1]$, che appartengono entrambi alla topologia indotta dalla topologia euclidea su $[-1,1]$.
Che ne dici?
Dato $U=(x,1) \cup {2}$, $f^{-1}(U)=(-1,-x) \cup (x,1]$, che per ogni $x \in[0,1[$ è aperto in $\tau_e$.
Per esempio, per $x=1/2$ si che che: $f^{-1}(U)=(-1,-1/2) \cup (1/2,1]$, che appartengono entrambi alla topologia indotta dalla topologia euclidea su $[-1,1]$.
Che ne dici?
Esattissimo!
Ricapitoliamo: già sappiamo che \(\displaystyle x\in[-1,1[\mapsto|x\in[0,1[\) è continua rispetto alle topologie naturali; hai appena dimostrato che è continua pure su \(\displaystyle 1\); quindi hai concluso.
Il caso b come lo discuti?
Ricapitoliamo: già sappiamo che \(\displaystyle x\in[-1,1[\mapsto|x\in[0,1[\) è continua rispetto alle topologie naturali; hai appena dimostrato che è continua pure su \(\displaystyle 1\); quindi hai concluso.
Il caso b come lo discuti?
Per (b) devo trovare un'aperto la cui controimmagine non è un aperto della cofinita.
Anche qui per $V=(x,1) \cup {2}$ si ha $f^{-1}(V)=(-1,-x) \cup (x,1]$ e, per esempio per $x=1/2$, si ha che $f^{-1}(V)=(-1,-1/2) \cup (1/2,1]$. Il suo complementare è ${-1} \cup [-1/2,1/2] \notin \tau_{cof}$ in quanto non è un insieme finito.
Anche qui per $V=(x,1) \cup {2}$ si ha $f^{-1}(V)=(-1,-x) \cup (x,1]$ e, per esempio per $x=1/2$, si ha che $f^{-1}(V)=(-1,-1/2) \cup (1/2,1]$. Il suo complementare è ${-1} \cup [-1/2,1/2] \notin \tau_{cof}$ in quanto non è un insieme finito.
Yes, alright!
Già che ci sono, una curiosità: vorrei vedere se è $T_2,T_1$ oppure $T_0$.
Allora, $T_2$ non può esserlo perché per ogni coppia di punti $x \ne y, x,y \in X$, detto $U$ un intorno di $x$ e $V$ un intorno di $y$, allora sicuramente $U \cap V \ne \emptyset$.
Vediamo se è $T_1$, cioè verifico se ogni punto è un chiuso.
Se $x=0$, allora $C_X{0}=(0,1) \cup {2} \in \tau$
Se $x=1$, allora $C_X{1}=[0,1) \cup {2}$, che è l'unione di $(0,1) \cup {2}$ e dell'aperto nella topologia indotta $[0,1)$, e in quanto unione di aperti è un aperto.
Se $x=2$, allora $C_X{2}=[0,1]$...ma questo insieme è un aperto? Perché banalmente appartiene alla topologia indotta dalla topologia euclidea su $[0,1]$, ma poi dovrei unire anche insiemi della forma $(x,1) \cup {2}, x \in [0,1)$, e non c'è verso di escludere il singleton ${2}$. Perciò concludo che non è $T_1$.
Allora, $T_2$ non può esserlo perché per ogni coppia di punti $x \ne y, x,y \in X$, detto $U$ un intorno di $x$ e $V$ un intorno di $y$, allora sicuramente $U \cap V \ne \emptyset$.
Vediamo se è $T_1$, cioè verifico se ogni punto è un chiuso.
Se $x=0$, allora $C_X{0}=(0,1) \cup {2} \in \tau$
Se $x=1$, allora $C_X{1}=[0,1) \cup {2}$, che è l'unione di $(0,1) \cup {2}$ e dell'aperto nella topologia indotta $[0,1)$, e in quanto unione di aperti è un aperto.
Se $x=2$, allora $C_X{2}=[0,1]$...ma questo insieme è un aperto? Perché banalmente appartiene alla topologia indotta dalla topologia euclidea su $[0,1]$, ma poi dovrei unire anche insiemi della forma $(x,1) \cup {2}, x \in [0,1)$, e non c'è verso di escludere il singleton ${2}$. Perciò concludo che non è $T_1$.
Incominciamo: sicuro che non ci siamo punti separabili alla Hausdorff? Nel senso che, se prendo due punti a caso, questi non sono mai separabili? A me sembra di sì!
Grazie della risposta! sinceramente non ne riesco a vedere, ogni punto che prendo ha ${2}$ nell'intorno, quindi l'intersezione di due intorni non è mai vuota. Dove sbaglio?
Ma quando mai!
Inizia a considerare il sottoinsieme \([0,1]\): questi con la topologia indotta è di Hausdorff?
Inizia a considerare il sottoinsieme \([0,1]\): questi con la topologia indotta è di Hausdorff?
Umm questo sì è di Hausdorff
Ma poi ci aggiungo il singoletto e devo considerare anche l'unione con aperti $(x,1) \cup {2} $... è li che non mi tornano i conti
Ma poi ci aggiungo il singoletto e devo considerare anche l'unione con aperti $(x,1) \cup {2} $... è li che non mi tornano i conti
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