Spazi affini e spazi vettoriali [teorico]
Ciao 
Ho una domanda dal carattere del tutto teorico.
Il concetto di introduzione di 'spazio vettoriale' nasce quando vogliamo formalizzare il concetto di vettore geometrico e quindi nasce la struttura algebrica dello 'spazio vettoriale' con tutta la sua bella assiomatica.
Fino a quì però ancora è per me, non so se sia una cosa generale, il poter parlare di 'disegnare' tali insiemi. Anche perché bisogna prima poter parlare di lunghezze, angoli e quindi nasce la struttura di spazio euclideo che ha essenzialmente tutte le proprietà utili per parlare di Geometria euclidea.
Successivamente, per parlare di vettori per come molti intendono(segmenti orientati), nasce la struttura di spazio affine che ci permette di associare a punti(ovviamente nel senso più generale possibile), dei vettori.
Quindi ora abbiamo tutte le armi per rappresentare i vettori, e qui sorgono le mie domande.
Prendendo come spazio affine $RR^2$ su se stesso, con la solita operazione che lo rende uno spazio affine, scelgo un punto $O$ che chiamerò origine e due vettori $u_1,u_2$ a cui corrisponderanno due punti $U_1,U_2$ tali che $OU_1=u_1$ e $OU_2=u_2$
Ponendo $|u_1|$ e $|u_2|$ come unità di misura delle rette vettoriali(intesi come spazi affini di dimensione uno) che essi generano. Pertanto dirò che gli assi saranno $O+$ e $O+$
Per esempio se misuro il tutto in centimetri e $|u_1|=|u_2|=1 [cm]$ potrò disegnare il segmento orientato $OU_1$ come una freccia di lunghezza $1cm$ e lo stess vale per il vettore $OU_2$ sempre fissato nell'origine.
Dunque è corretto tal modo di rappresentare uno spazio affine mediante un 'disegno'?
È corretto il pensare ad un vettore come un segmento e non asserire che di fatto sia un segmento?
Quindi avere in se il concetto di 'vettore' come elemento di una struttura algebrica?
pongo questa domanda perché alla base di essa c'era un'altra domanda 'posso pensare anche gli elementi di $RR_(n)[X]$' come segmenti orientati in base a questo?
Il tutto è dato dal fatto del 'pensare che si possa rappresentare la geometria una circonferenza reale, ma di fatto che tutte queste siano date da ragionamenti algebrici che ci permettono di rappresentare tali figure'.
Ho una domanda dal carattere del tutto teorico.
Il concetto di introduzione di 'spazio vettoriale' nasce quando vogliamo formalizzare il concetto di vettore geometrico e quindi nasce la struttura algebrica dello 'spazio vettoriale' con tutta la sua bella assiomatica.
Fino a quì però ancora è per me, non so se sia una cosa generale, il poter parlare di 'disegnare' tali insiemi. Anche perché bisogna prima poter parlare di lunghezze, angoli e quindi nasce la struttura di spazio euclideo che ha essenzialmente tutte le proprietà utili per parlare di Geometria euclidea.
Successivamente, per parlare di vettori per come molti intendono(segmenti orientati), nasce la struttura di spazio affine che ci permette di associare a punti(ovviamente nel senso più generale possibile), dei vettori.
Quindi ora abbiamo tutte le armi per rappresentare i vettori, e qui sorgono le mie domande.
Prendendo come spazio affine $RR^2$ su se stesso, con la solita operazione che lo rende uno spazio affine, scelgo un punto $O$ che chiamerò origine e due vettori $u_1,u_2$ a cui corrisponderanno due punti $U_1,U_2$ tali che $OU_1=u_1$ e $OU_2=u_2$
Ponendo $|u_1|$ e $|u_2|$ come unità di misura delle rette vettoriali(intesi come spazi affini di dimensione uno) che essi generano. Pertanto dirò che gli assi saranno $O+
Per esempio se misuro il tutto in centimetri e $|u_1|=|u_2|=1 [cm]$ potrò disegnare il segmento orientato $OU_1$ come una freccia di lunghezza $1cm$ e lo stess vale per il vettore $OU_2$ sempre fissato nell'origine.
Dunque è corretto tal modo di rappresentare uno spazio affine mediante un 'disegno'?
È corretto il pensare ad un vettore come un segmento e non asserire che di fatto sia un segmento?
Quindi avere in se il concetto di 'vettore' come elemento di una struttura algebrica?
pongo questa domanda perché alla base di essa c'era un'altra domanda 'posso pensare anche gli elementi di $RR_(n)[X]$' come segmenti orientati in base a questo?
Il tutto è dato dal fatto del 'pensare che si possa rappresentare la geometria una circonferenza reale, ma di fatto che tutte queste siano date da ragionamenti algebrici che ci permettono di rappresentare tali figure'.
Risposte
Ciao,
Provo a dare una risposta sebbene non abbia molta esperienza in materia.
Non saprei, sicuramente come idea iniziale va bene, ma ci sono molti esempi astratti di spazi affini che dubito possano essere disegnati, per esempio già $\mathbb{R^4}$ non può essere disegnato. Una volta stavo discutendo a un ricevimento con un mio prof, lui è un drago in geometria algebrica e si è lasciato sfuggire un esempio di spazio affine che coinvolgeva i fibrati... penso si riferisse a qualcosa del genere, ma non ricordo con precisione. Tutto ciò per dire che uno spazio affine può essere molto astratto e magari non può essere immaginato come 'disegno' o qualcosa di simile. Sicuramente visualizzare le cose in $\mathbb{R^2}$, $\mathbb{R^3}$ è utile, ma non sempre le cose funzionano come nel piano e nello spazio, anzi più andrai avanti più studierai cose che non potrai ricondurre al piano e allo spazio usuale, vedi lo spazio proiettivo(per dimensioni bassissime ok, ma già per $n>=3$ ci sono problemi a vederlo).
Again, non saprei. I vettori come segmenti orientati o come 'frecce' sono un buon esempio iniziale di spazio vettoriale ma la caratteristica dei vettori è che puoi farci combinazioni lineari finite.
In uno spazio affine non tutte le combinazioni lineari sono lecite: la somma dei coefficienti della combinazione deve fare $1$, ma questo è il prezzo da pagare per liberarsi dell'origine privilegiata di uno spazio vettoriale.
Lo fai diventare uno spazio affine su qualcosa e puoi fare geometria. Se poi intendi $\mathbb{R_n}[X]$ come spazio vettoriale allora ni: puoi pensare agli elementi di $\mathbb{R_n}[X]$ come segmenti uscenti dall'origine, ma questo lo fai perché stai confondendo, volutamente, la struttura di spazio vettoriale di $\mathbb{R_n}[X]$ con quella di spazio affine su se stesso. In generale le cose non sono così belle.
Non ho capito
Magari aspettiamo qualche geometra
Ciao!
Provo a dare una risposta sebbene non abbia molta esperienza in materia.
"anto_zoolander":
Dunque è corretto tal modo di rappresentare uno spazio affine mediante un 'disegno'?
Non saprei, sicuramente come idea iniziale va bene, ma ci sono molti esempi astratti di spazi affini che dubito possano essere disegnati, per esempio già $\mathbb{R^4}$ non può essere disegnato. Una volta stavo discutendo a un ricevimento con un mio prof, lui è un drago in geometria algebrica e si è lasciato sfuggire un esempio di spazio affine che coinvolgeva i fibrati... penso si riferisse a qualcosa del genere, ma non ricordo con precisione. Tutto ciò per dire che uno spazio affine può essere molto astratto e magari non può essere immaginato come 'disegno' o qualcosa di simile. Sicuramente visualizzare le cose in $\mathbb{R^2}$, $\mathbb{R^3}$ è utile, ma non sempre le cose funzionano come nel piano e nello spazio, anzi più andrai avanti più studierai cose che non potrai ricondurre al piano e allo spazio usuale, vedi lo spazio proiettivo(per dimensioni bassissime ok, ma già per $n>=3$ ci sono problemi a vederlo).
È corretto il pensare ad un vettore come un segmento e non asserire che di fatto sia un segmento?
Quindi avere in se il concetto di 'vettore' come elemento di una struttura algebrica?
Again, non saprei. I vettori come segmenti orientati o come 'frecce' sono un buon esempio iniziale di spazio vettoriale ma la caratteristica dei vettori è che puoi farci combinazioni lineari finite.
In uno spazio affine non tutte le combinazioni lineari sono lecite: la somma dei coefficienti della combinazione deve fare $1$, ma questo è il prezzo da pagare per liberarsi dell'origine privilegiata di uno spazio vettoriale.
pongo questa domanda perché alla base di essa c'era un'altra domanda 'posso pensare anche gli elementi di $ RR_(n)[X] $' come segmenti orientati in base a questo?
Lo fai diventare uno spazio affine su qualcosa e puoi fare geometria. Se poi intendi $\mathbb{R_n}[X]$ come spazio vettoriale allora ni: puoi pensare agli elementi di $\mathbb{R_n}[X]$ come segmenti uscenti dall'origine, ma questo lo fai perché stai confondendo, volutamente, la struttura di spazio vettoriale di $\mathbb{R_n}[X]$ con quella di spazio affine su se stesso. In generale le cose non sono così belle.
Il tutto è dato dal fatto del 'pensare che si possa rappresentare la geometria una circonferenza reale, ma di fatto che tutte queste siano date da ragionamenti algebrici che ci permettono di rappresentare tali figure'.
Non ho capito
Magari aspettiamo qualche geometra
Ciao!
Grazie
Si ovviamento parliamo di qualcosa di molto astratto, infatti il vero senso è del tutto algebrico, secondo me, e poi sovvengono le intuizioni geometriche.
Di fatto per esempio poniamo per definizione che una $n- s f e r a$ sia un sottoinsieme di uno spazio affine $(A,a)_V$ del tipo $S(C,r)={Q inA: d(C,Q)=r}$ di fatto secondo me possiamo rappresentare una circonferenza soltanto dopo aver associato questa idea di 'vettore' come un segmento orientato che unisce due punti.
Devo dire ovviamente che vederla così mi sembra molto più astratto e corretto IMHO che pensare semplicemente il tutto come freccette.
Questa cosa delle combinazioni lineare occhi scalari devono avere somma unitaria se non sbaglio è legato alle combinazioni convesse. Ovvero posso prendere combinazioni lineari arbitrarie ma non risulteranno convesse.
Per l'ultima cosa che mi hai detto di non aver capito, mi riferisco al fatto che $S(C,r)$ sia una circonferenza si, ma per definizione del tutto algebrica. Poi da questo segue che possiamo rappresentarla come la circonferenza che conosciamo sempre.
Per quanto riguarda invece i polinomi.
Sicuramente il fatto che ogni spazio vettoriale $n-$dimensionale sia isomorfo a $RR^n$ aiuta molto.
Però alla fine posso considerare questo per qualsiasi cosa.
Infatti quando mi faccio auto esempi, uso uno spazio vettoriale generico, con un riferimento ortonormale fissato e lavoro sulle coordinate, immaginando i vettori come segmenti per l'appunto.
Di fatto intendo 'rappresentare uno spazio vettoriale',
Si ovviamento parliamo di qualcosa di molto astratto, infatti il vero senso è del tutto algebrico, secondo me, e poi sovvengono le intuizioni geometriche.
Di fatto per esempio poniamo per definizione che una $n- s f e r a$ sia un sottoinsieme di uno spazio affine $(A,a)_V$ del tipo $S(C,r)={Q inA: d(C,Q)=r}$ di fatto secondo me possiamo rappresentare una circonferenza soltanto dopo aver associato questa idea di 'vettore' come un segmento orientato che unisce due punti.
Devo dire ovviamente che vederla così mi sembra molto più astratto e corretto IMHO che pensare semplicemente il tutto come freccette.
Questa cosa delle combinazioni lineare occhi scalari devono avere somma unitaria se non sbaglio è legato alle combinazioni convesse. Ovvero posso prendere combinazioni lineari arbitrarie ma non risulteranno convesse.
Per l'ultima cosa che mi hai detto di non aver capito, mi riferisco al fatto che $S(C,r)$ sia una circonferenza si, ma per definizione del tutto algebrica. Poi da questo segue che possiamo rappresentarla come la circonferenza che conosciamo sempre.
Per quanto riguarda invece i polinomi.
Sicuramente il fatto che ogni spazio vettoriale $n-$dimensionale sia isomorfo a $RR^n$ aiuta molto.
Però alla fine posso considerare questo per qualsiasi cosa.
Infatti quando mi faccio auto esempi, uso uno spazio vettoriale generico, con un riferimento ortonormale fissato e lavoro sulle coordinate, immaginando i vettori come segmenti per l'appunto.
Di fatto intendo 'rappresentare uno spazio vettoriale',
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