Esercizio standard di topologia generale
We 
vorrei un conferma sullo svolgimento di questo esercizio
Sol.:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
Tutto ok?
vorrei un conferma sullo svolgimento di questo esercizio
Sia $\tau$ la topologia su $RR$ data da $\tau={U \subset RR: x \in U => x+1 \in U}$.
(i) Confronta le due topologie $\tau$ e $\tau_e$ (topologia euclidea).
(ii)Trova $Int[0,1]$, $Int RR \setminus {0}$, $Int \mathbb{Z}$.
(iii)$RR,\tau$ è uno spazio di Hausdorff?
(iv)$\mathbb{Z}$ è chiuso?
(v)$RR$ è connesso in $\tau$?
(vi)E' compatto?
(vii) La funzione $f: (RR,\tau) \rarr (RR,\tau)$, $x \mapsto -x$ è continua ?
Sol.:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
(vi)
(vii)
Tutto ok?
Risposte
1. Quali due topologie?
Ops... intendevo $\tau$ e $\tau_e$, topologia euclidea 
Grazie per avermelo fatto notare
Grazie per avermelo fatto notare
Più tardi provo a farlo e vediamo cosa ne salta fuori!
a dopo!
Ok, ho fatto. Sono d'accordo su tutto tranne che su due cose:
1. $Int RR \setminus \{0 \} = RR \setminus ZZ^{-} $ dove con $ZZ^{-}$ intendo $\{ x \in ZZ : x <0 \} $
Infatti al variare di $a \in RR$ gli insiemi del tipo $A_a := \{ x \in RR : x = a + n, n \in NN \}$ sono aperti e l'insieme $\bigcup \{ A_a | a \in RR \setminus ZZ^{-} \}$ non contiene lo zero ed è aperto.
2. Non ho capito perché gli insiemi del tipo $(i, i+1)$ al variare di $i \in RR$ dovrebbero formare un ricoprimento aperto di $RR$, cioè lo ricoprono ma non sono aperti.
Io ho considerato il ricoprimento $\mathcal{A} = \{ A_a | a \in RR, a \le 0 \}$, se ammettesse un sottoricoprimento finito del tipo $A_{a_1} , ... , A_{a_n}$ si avrebbe che $min{a_1, ... , a_n}-1 \notin RR $ il che è assurdo.
Ma magari dico baggianate, vedi tu!
1. $Int RR \setminus \{0 \} = RR \setminus ZZ^{-} $ dove con $ZZ^{-}$ intendo $\{ x \in ZZ : x <0 \} $
Infatti al variare di $a \in RR$ gli insiemi del tipo $A_a := \{ x \in RR : x = a + n, n \in NN \}$ sono aperti e l'insieme $\bigcup \{ A_a | a \in RR \setminus ZZ^{-} \}$ non contiene lo zero ed è aperto.
2. Non ho capito perché gli insiemi del tipo $(i, i+1)$ al variare di $i \in RR$ dovrebbero formare un ricoprimento aperto di $RR$, cioè lo ricoprono ma non sono aperti.
Io ho considerato il ricoprimento $\mathcal{A} = \{ A_a | a \in RR, a \le 0 \}$, se ammettesse un sottoricoprimento finito del tipo $A_{a_1} , ... , A_{a_n}$ si avrebbe che $min{a_1, ... , a_n}-1 \notin RR $ il che è assurdo.
Ma magari dico baggianate, vedi tu!
(ii)L'interno di $RR\{0}$ non va bene, ricontrolla.
(vi)Sicuro che quelli siano aperti?
Il resto è perfetto.
(vi)Sicuro che quelli siano aperti?
Il resto è perfetto.
Grazie a entrambi per le risposte !
@Bremen000
Sulla prima osservazione mi torna tutto, mi era proprio sfuggito
Nella seconda però non ho capito come arrivi all'assurdo.
@Bremen000
Sulla prima osservazione mi torna tutto, mi era proprio sfuggito
Nella seconda però non ho capito come arrivi all'assurdo.
Si può dire così: dato che gli aperti di questo ricoprimento sono tutti limitati inferiormente, anche l'unione di una sua qualsiasi sottofamiglia finita lo è. Provate a dimostrare (o confutare, ma direi che è vero) anche che lo spazio non è nemmeno di Lindeloff.
@feddy Per l'assurdo è come dice otta, basta osservare che sono limitati inferiormente.
@otta96
Scopro oggi cosa è uno spazio di Lindelof! Be' comunque preso il ricoprimento $\mathcal{A}$ di prima esso non ammette nemmeno sottoricoprimenti numerabili, infatti ogni $A_a$ è numerabile e ogni loro unione numerabile è ancora numerabile, pertanto si avrebbe che anche $RR$ è numerabile, il che è falso.
@otta96
Scopro oggi cosa è uno spazio di Lindelof! Be' comunque preso il ricoprimento $\mathcal{A}$ di prima esso non ammette nemmeno sottoricoprimenti numerabili, infatti ogni $A_a$ è numerabile e ogni loro unione numerabile è ancora numerabile, pertanto si avrebbe che anche $RR$ è numerabile, il che è falso.
Ottimo.
Aggiungo un altro punto: determinare la componente connessa di ogni punto.
Aggiungo un altro punto: determinare la componente connessa di ogni punto.
Dunque, fissato $x \in \mathbb{R}$ l'insieme $B_x:=\{ y \in mathbb{R} : y = x + k, k \in \mathbb{Z} \}$ è connesso poiché non esistono due aperti non vuoti di $B_x$ disgiunti la cui unione sia $B_x$ (anzi non esistono proprio due aperti non vuoti di $B_x$ disgiunti).
Inoltre non esiste nessun connesso $A$ che contiene $B_x$, se esistesse, infatti, $B_x$ sarebbe aperto in $A$ e lo sarebbe dunque anche $A \setminus B_x$.
Dunque la componente connessa di $x \in \mathbb{R}$ è $B_x$.
Inoltre non esiste nessun connesso $A$ che contiene $B_x$, se esistesse, infatti, $B_x$ sarebbe aperto in $A$ e lo sarebbe dunque anche $A \setminus B_x$.
Dunque la componente connessa di $x \in \mathbb{R}$ è $B_x$.
Giusto anche questo, visto che (mi sembra che) fremi dalla voglia di fare esercizi di topologia ti propongo questo: viewtopic.php?f=37&t=178571
Purtroppo non ho ancora studiato la compattificazione di Alexandroff! Sto studiando sul Manetti e pare che mi manchino ben 6 pagine prima di arrivarci. Appena avrò imparato cosa sia, ci proverò 
Bravo, almeno mi fai contento (nessuno ha provato a fare l'esercizio che ho proposto 
).
).
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