Esercizio standard di topologia

[feddy]

Ciao a tutti, rieccomi con questo esercizio di topologia, preso da una traccia d'esame.

Posto, per ogni $t \in [-1,1]$, $A_t={x \in RR:sin(x)=t}$, si consideri l'insieme

$\mathcal{B}={A_t: t \in [-1,1]}$

.

Sia $\tau$ la topologia generata da ]$\mathcal{B}$.

(i) Mostrare che ${x \in RR: cos(x)=0}$ è aperto in $\tau$.
(ii) Determinare $Int[0,1] , Int[0,1)$.
(iii)Determinare $\overline{{0}}$
(iv)Dire se $RR,\tau$ è uno spazio di Hausdorff
(v)$RR$ è connesso rispetto a $\tau$?
(vi) $RR$ è compatto in $\tau$?

Sol.:

Gli aperti di $RR,\tau$ sono, per esempio, $A_1={\pi/2 + 2k \pi, k \in \mathbb{Z}}$ e sono formati da un numero infinito di punti.

(i)
${x∈R:cos(x)=0}$. L'insieme dei punti dove si annulla la funzione $cos(x)$ è data dall'aperto $A_1={x \in RR: sin(x)=1}$. Perciò è un aperto.

(ii)
La mia risposta è $Int[0,1]=\emptyset , Int[0,1)=\emptyset$, perché non esistono punti interni a questi intervalli. Perché ogni aperto "esce fuori" da $[0,1]$, in quanto ha un numero infinito di punti. Per esempio, lo $0$ è contenuto in $A_0$ che però è un insieme infinito e perciò non è contenuto in $[0,1]$.

(iii) Qui non saprei bene come fare sinceramente..

(iv) Non è uno spazio $T_2$ poiché punti distinti non ammettono intorni disgiunti. Per esempio, dato $x=0, y=\pi$, ogni intorno di $0$ è anche intorno di $\pi$

(v)$RR$ è sconnesso in $\tau$. Infatti, dati $A=\cup_{t \in [0,1]}A_t$ e $B=\cup_{t \in [-1,0)}A_t$, allora $A\capB=\emptyset$ e $A \cup B= RR$

(vi) $RR$ non è compatto in quanto un ricoprimento aperto dal quale non è possibile estrarre un sotto-ricoprimento finito è dato proprio dall'insieme $\mathcal{B}$


Grazie a chiunque mi possa dare qualche spunto o mi dica cosa non va

[j18eos]

Ricominciamo...

(i) Nì!

(ii) Sì!

(iii) In sospeso...

(iv) Sì! (Finalmente )

(v) Sì!

(vi) Benissimo.

[Bremen000]

Sono anche io agli inizi con la topologia e ho provato a farli (senza vedere la soluzione di feddy, ma qua mi si deve credere sulla parola ).

1:

$\{ x \in RR : \cos{x} =0 \} = \{\pi/2 + k\pi | k \in ZZ \} = \{x \in RR : \sin{x}=1\} \cup \{x \in RR : \sin{x}=-1\} = A_1 \cup A_{-1}$
e dunque è aperto in $\tau$.

2:

Ogni elemento di $\tau$ diverso dal vuoto è un sottoinsieme illimitato di $RR$ e dunque non possono esistere aperti non vuoti contenuti in $[0,1]$ o in $[0,1)$; dunque $Int[0,1]=Int[0,1) = \emptyset$.

3:

Se $t, j \in [-1,1]$ e $t \ne j$ allora $A_t \cap A_j = \emptyset$ e $\bigcup \{A_t : t \in [-1,1] \} = RR$ poiché sono base di una topologia.
Considero la famiglia di sottoinsiemi $\{A_t : t \in [-1,1] , t \ne 0 \}$. La loro unione è $\mathbb{R} \setminus A_0$ ed è aperta e non contiene lo $0$. Questo è il più grande aperto che non contiene lo zero, infatti se contenesse qualche punto $y \in A_0$ diverso da $0$ allora non sarebbe aperto, non esisterebbe infatti un aperto che contiene $y$ contenuto in $RR \setminus A_0$. Dunque $ \overline{{0}} = A_0$.

4:

No, non è di Hausdorff, ad esempio i punti $0$ e $2\pi$ sono tali che l'unico aperto di base che li contiene è $A_0$ e dunque qualsiasi aperto che li contiene, contiene anche $A_0$. Non ammettono dunque intorni disgiunti.

5:

No, non è connesso. Come al punto 3 gli aperti $A_0$ e $RR \setminus A_0$ sono disgiunti.

6:

Come da punto 3 il ricoprimento $\bigcup \{A_t : t \in [-1,1] \}$ non ammette sottoticoprimento finito.

Che dite?

[feddy]

Grazie a entrambi per le risposte !;)

@j18eos

In (i) mi sono dimenticato di considerare anche $A_{-1}$: quindi ${x \in RR: cos(x)=0}=A_1 \cup A_{-1}$, e in quanto unione di aperti, essa è aperta.
In (iii), $\overline{{0}}=A_0$. Infatti $RR \setminus A_0$ è un aperto in quanto è dato da $\uuu_t{A_t: t \in [-1,1] \setminus {0}}$, ed è l'aperto più grande che possiamo trovare che non contiene lo $0$.

@Bremen000

Ho controllato ora le tue risposte, ti ringrazio molto. Ho avuto la conferma che (iii) è giusto, mentre per (iv) e (v) mi pare che entrambe le risposte vadano bene !

Grazie !

"j18eos":(iv) Sì! (Finalmente )

Ahaha puoi dirlo forte

[j18eos]

Bene e bravi entrambi!