La curva $y^2 - x^3 =0$ non è una sottovarietà dii $\mathbb{R}^2$
Vorrei provare a dimostrare che la curva $y^2 -x^2=0$ non ammette una struttura di sottovarietà differenziabile nel piano. Non ho ben chiaro come fare, solo qualche idea e qualche consiglio.
Anzitutto, non ho ben capito quanto sia importante il fatto di cercare di montare sulla curva una struttura di sottovarietà di $\mathbb{R}^2$ e non di varietà a sé stante. Cosa cambia, e se nel secondo caso tale struttura esiste, come la trovo?
Visto che voglio una sottovarietà mi scrivo la curva come luogo di zeri di una certa funzione da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$. A questo punto i miei appunti si fanno poco chiari. A quanto ho capito, si mostra in qualche modo che in $(0,0)$ entrambe le derivate parziali sono nulle, e da qui vorrei dedurre che una struttura di sottovarietà non è possibile.
Mi sembra che il professore usò in qualche modo il teorema della funzione implicita, ma non riesco proprio a capire come. Cioè, proprio non capisco dove stia il problema. Perchè la curva non può essere il luogo di zeri di una funzione differenziabile se nell'origine tutte le funzioni siffatte hanno gradiente nullo?
Ho provato anche a chiedere qui https://math.stackexchange.com/questions/2400631/the-curve-y2-x3-0-isnt-a-differential-manifold-of-mathbbr2?noredirect=1#comment4956723_2400631, ma non ho ben chiaro nemmeno questo modo di procedere.
Grazie in anticipo dell'aiuto!
Anzitutto, non ho ben capito quanto sia importante il fatto di cercare di montare sulla curva una struttura di sottovarietà di $\mathbb{R}^2$ e non di varietà a sé stante. Cosa cambia, e se nel secondo caso tale struttura esiste, come la trovo?
Visto che voglio una sottovarietà mi scrivo la curva come luogo di zeri di una certa funzione da $\mathbb{R}^2$ a $\mathbb{R}$. A questo punto i miei appunti si fanno poco chiari. A quanto ho capito, si mostra in qualche modo che in $(0,0)$ entrambe le derivate parziali sono nulle, e da qui vorrei dedurre che una struttura di sottovarietà non è possibile.
Mi sembra che il professore usò in qualche modo il teorema della funzione implicita, ma non riesco proprio a capire come. Cioè, proprio non capisco dove stia il problema. Perchè la curva non può essere il luogo di zeri di una funzione differenziabile se nell'origine tutte le funzioni siffatte hanno gradiente nullo?
Ho provato anche a chiedere qui https://math.stackexchange.com/questions/2400631/the-curve-y2-x3-0-isnt-a-differential-manifold-of-mathbbr2?noredirect=1#comment4956723_2400631, ma non ho ben chiaro nemmeno questo modo di procedere.
Grazie in anticipo dell'aiuto!
Risposte
Sono convinto che sia proprio quello che sto cercando, ma nella risposta che mi hai segnalato a un certo punto mi perdo!
Queste sono cose nuove per me e alcuni termini e simboli che hai usato per rispondere alla prima domanda mi sono del tutto sconosciuti. Potresti per piacere farmi vedere cosa c'è che non va esplicitamente? Cosa c'è che non va, e che non mi permettere di dotare la curva di una struttura di sottovarietà di $\mathbb{R}^2$?
Per quanto riguarda la seconda domanda, a quel che mi sembra di capire dovrebbe rispondere all'altra mia domanda, ovvero se posso considerare la curva come una varietà differenziale a prescindere da $\mathbb{R}^2$.
Se ho interpretato bene, tu dici che considerando la curva "senza struttura" posso metterci la topologia che mi pare, in particolare posso fare in modo che una certa biezione fra tale curva e un' altra curva in $\mathbb{R}^2$ più "regolare" (e presa magari con la topologia di sottospazio) risulti un omeomorfismo, e a quel punto non dovrebbe essere un problema montarci una struttura di varietà differenziabile. Ho capito bene?
Queste sono cose nuove per me e alcuni termini e simboli che hai usato per rispondere alla prima domanda mi sono del tutto sconosciuti. Potresti per piacere farmi vedere cosa c'è che non va esplicitamente? Cosa c'è che non va, e che non mi permettere di dotare la curva di una struttura di sottovarietà di $\mathbb{R}^2$?
Per quanto riguarda la seconda domanda, a quel che mi sembra di capire dovrebbe rispondere all'altra mia domanda, ovvero se posso considerare la curva come una varietà differenziale a prescindere da $\mathbb{R}^2$.
Se ho interpretato bene, tu dici che considerando la curva "senza struttura" posso metterci la topologia che mi pare, in particolare posso fare in modo che una certa biezione fra tale curva e un' altra curva in $\mathbb{R}^2$ più "regolare" (e presa magari con la topologia di sottospazio) risulti un omeomorfismo, e a quel punto non dovrebbe essere un problema montarci una struttura di varietà differenziabile. Ho capito bene?
Semplicemente, dovresti calcolare la retta tangente \(\displaystyle T_P\gamma\) al grafico della curva \(\displaystyle\gamma\equiv y^2-x^3=0\) in ogni suo punto \(\displaystyle P\)!
Dalla teoria, dette \(\displaystyle(x_0,y_0)\) le coordinate in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) del generico punto \(\displaystyle P\), tu hai che lo spazio vettoriale \(\displaystyle T_{(x_0,y_0)}\gamma\) è descritto dal sistema di equazioni lineari \(\displaystyle\nabla f(x_0,y_0)\cdot(x,y)=0\), ove \(\displaystyle f(x,y)=y^2-x^3\).
Lascio a te i calcoli!
Dalla teoria, dette \(\displaystyle(x_0,y_0)\) le coordinate in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) del generico punto \(\displaystyle P\), tu hai che lo spazio vettoriale \(\displaystyle T_{(x_0,y_0)}\gamma\) è descritto dal sistema di equazioni lineari \(\displaystyle\nabla f(x_0,y_0)\cdot(x,y)=0\), ove \(\displaystyle f(x,y)=y^2-x^3\).
Lascio a te i calcoli!
C'è tutto un libro su queste cose:
https://link.springer.com/book/10.1007% ... 614-5981-1
e il tuo esempio (o uno molto simile) è trattato come esempio di caso in cui il teorema della funzione implicita non si può applicare.
In ogni caso, qui è meglio cominciare disegnando il grafico della "curva" assegnata. Nell'origine degli assi c'è un grosso problema: come definire la retta tangente? Ecco perché non è una sottovarietà.
https://link.springer.com/book/10.1007% ... 614-5981-1
e il tuo esempio (o uno molto simile) è trattato come esempio di caso in cui il teorema della funzione implicita non si può applicare.
In ogni caso, qui è meglio cominciare disegnando il grafico della "curva" assegnata. Nell'origine degli assi c'è un grosso problema: come definire la retta tangente? Ecco perché non è una sottovarietà.
Mh... a questo punto credo proprio di avere un problema di base. Come definizione di sottovarietà differenziabile ho che deve rappresentare il luogo di zeri di una funzione differenziabile, non ho mai usato le tangenti alla curva... poi magari le cose sono strettamente collegate
Ma prima di pensare agli zeri della funzione differenziabile, pensiamo un attimo al concetto di "varietà". Una varietà differenziabile è un aggeggio dotato di una struttura minima per farci su del calcolo differenziale. L'oggetto minimo del calcolo differenziale è la derivata. Geometricamente, quindi, questo aggeggio deve avere in ogni punto un unico spazio tangente, perché sarà lì sopra che saranno definiti i vettori tangenti, ovvero l'analogo delle derivate direzionali.
Ma allora, una roba come quella che hai proposto, che assomiglia ad una X tutta incurvata, non può essere una varietà differenziabile perché in \((0,0)\) non mi pare proprio che abbia un unico spazio tangente. (A meno di non metterci su qualche struttura bislacca, ma io sto parlando della struttura naturale di sottovarietà di \(\mathbb R^2\)).
Ma allora, una roba come quella che hai proposto, che assomiglia ad una X tutta incurvata, non può essere una varietà differenziabile perché in \((0,0)\) non mi pare proprio che abbia un unico spazio tangente. (A meno di non metterci su qualche struttura bislacca, ma io sto parlando della struttura naturale di sottovarietà di \(\mathbb R^2\)).
Ok, credo di aver capito il senso di quello che dici, e perchè la curva non può essere una sottovarietà. Tuttavia mi piacerebbe vedere un paio di conti, fino ad ora mi hanno detto tutti cose molto simili, ma senza mai esplicitare. Non fraintendere, mi sono molto utili anche le spiegazioni "a parole", ma visto che è un argomento nuovo vorrei vedere una volta come tradurre le parole in numeri, non so se mi spiego 
Ti spieghi e hai perfettamente ragione, è per quello che ho linkato il libro di Krantz e Parks, sopra. Prova a darci un'occhiata se ti va
@tommy1996q Io un calcolo te l'ho lasciato!
Ok, proviamo a vedere se ho capito. Se la curva fosse una sottovarietà potrei definire lo spazio tangente in ogni punto. Pongo ora tale curva come luogo di zeri di una funzione differenziabile, perciò $f(t^2,t^3)=0$. Andando a definire lo spazio tangente come ha suggerito @j18eos abbiamo $2t \partial _x f + 3t^2 \partial_y f=0$, da cui si ricava facilmente che le due derivate parziali sono nulle. Non potendo definire uni spazio tangente nell'origine, la curva non è una sottovarietà. E' corretto il ragionamento?
No. Stai mischiando due cose. Dal teorema della funzione implicita, sai che un insieme di livello di una funzione differenziabile è dotato in modo standard di struttura di sottovarietà SE il livello è regolare, ovvero se il gradiente della funzione non si annulla mai su di esso. Ma non vale il viceversa di quel "SE". Ovvero, se questo non accade non vuol dire che automaticamente l'insieme di livello non sia una varietà: considera ad esempio la funzione
\[
f(x, y)= (x-y)^2\]
e l'insieme
\[
\{ f(x, y)=0\}, \]
che è una retta.
\[
f(x, y)= (x-y)^2\]
e l'insieme
\[
\{ f(x, y)=0\}, \]
che è una retta.
Quello che dici era lo stesso dubbio che avevo avuto io, ma pensavo di sbagliare e che in questo particolare caso fosse necessario poter applicare il teorema della funzione implicita. A questo punto sono veramente confuso, non vorrei sembrare sfacciato, ma ti chiedo: potresti svolgere questo esercizio come se te lo trovassi a un esame?
A quanto mi sembra di aver capito non dovrebbe essere troppo lungo né troppo difficile (e in ogni caso non è così urgente, posso aspettare anche una decina di giorni).
P.S. Ho dato un'occhiata al libro che mi dicevi, ma non ho trovato nulla (o meglio, è molto generale, e magari quello che serve a me è un corollario di qualche risultato teorico che non ho visto)
A quanto mi sembra di aver capito non dovrebbe essere troppo lungo né troppo difficile (e in ogni caso non è così urgente, posso aspettare anche una decina di giorni).
P.S. Ho dato un'occhiata al libro che mi dicevi, ma non ho trovato nulla (o meglio, è molto generale, e magari quello che serve a me è un corollario di qualche risultato teorico che non ho visto)
Ho capìto cosa afferma dissonance: possiamo sicuramente affermare che \(\displaystyle(0,0)\) è l'unico punto non regolare per \(\displaystyle\gamma\), dato che il gradiente di \(\displaystyle f(x,y)=y^2-x^3\) si annulla solo in esso! E ivi non possiamo usare il teorema delle funzioni implicite...
@tommy1996q Dovresti conoscere l'equivalenza, non banale, tra punti lisci e punti regolari; ma poi si va in dettagli tecnici piuttosto avanzati, per cui lascio perdere.
Però intorno al punto \(\displaystyle(0,0)\), la curva \(\displaystyle\gamma\) è il grafico della funzione differenziabile \(\displaystyle x=\sqrt[3]{y^2}\) (teorema della funzione implicita, perché?); cosa accade in \(\displaystyle(0,0)\)?
E ivi non possiamo usare il teorema delle funzioni implicite...@tommy1996q Dovresti conoscere l'equivalenza, non banale, tra punti lisci e punti regolari; ma poi si va in dettagli tecnici piuttosto avanzati, per cui lascio perdere.
Però intorno al punto \(\displaystyle(0,0)\), la curva \(\displaystyle\gamma\) è il grafico della funzione differenziabile \(\displaystyle x=\sqrt[3]{y^2}\) (teorema della funzione implicita, perché?); cosa accade in \(\displaystyle(0,0)\)?
@j18eos credo che parametrizzando in quel modo si abbia una cuspide, no?
Comunque si ritorna al dubbio che avevo all'inizio: se con quella parametrizzazione non funziona, chi mi dice che non ce ne sia un'altra che invece mi fa funzionare tutto? Per quello chiedevo uno svolgimento: non riesco a capire il punto del discorso e mi sembra di starci girando intorno
Sì, esatto!
Dal punto di vista della geometria differenziale, perché il punto cuspidale impedisce alla curva di essere una varietà differenziabile?
Ma quale parametrizzazione? Qui nessuno sta usando le parametrizzazioni!
Dal punto di vista della geometria differenziale, perché il punto cuspidale impedisce alla curva di essere una varietà differenziabile?
Ma quale parametrizzazione? Qui nessuno sta usando le parametrizzazioni!
@j18eos Appunto, non lo so 
Il fatto è che non ho seguito un corso di geometria differenziale, questo esempio ce l'hanno dato a topologia dopo aver introdotto (brevemente, non è negli scopi principali del corso) il concetto di varietà e di varietà differenziabile.
Per parametrizzazione intendevo che uno, volendo, potrebbe parametrizzare quella curva ad esempio in coordinate polari (poi magari non si può in questo caso, ma intendevo in questo senso qui)
P.S. Una domanda riguardante il forum: se rispondo a qualcuno sotto una mia domanda dove sono intervenute anche altre persone, questa persona (e magari anche le altre intervenute) riceve notifica della risposta? Oppure devo aggiungere @nome_utente?
Il fatto è che non ho seguito un corso di geometria differenziale, questo esempio ce l'hanno dato a topologia dopo aver introdotto (brevemente, non è negli scopi principali del corso) il concetto di varietà e di varietà differenziabile.
Per parametrizzazione intendevo che uno, volendo, potrebbe parametrizzare quella curva ad esempio in coordinate polari (poi magari non si può in questo caso, ma intendevo in questo senso qui)
P.S. Una domanda riguardante il forum: se rispondo a qualcuno sotto una mia domanda dove sono intervenute anche altre persone, questa persona (e magari anche le altre intervenute) riceve notifica della risposta? Oppure devo aggiungere @nome_utente?
Svolgimento: Sia \(\displaystyle(x_0,y_0)\neq(0,0)\in\gamma\), per il teorema delle funzioni implicite la curva \(\displaystyle\gamma\) è il grafico della funzione differenziabile \(\displaystyle x=\sqrt[3]{y^2}\) (perché?); ma in \(\displaystyle 0\) questa funzione non è differenziabile (perché?), quindi attorno a \(\displaystyle(0,0)\) questa curva non è diffeomorfa ad \(\displaystyle\mathbb{R}\), e in particolare non può essere una varietà differenziabile.
Domanda: Perché non ho esplicitato la \(\displaystyle y\) in funzione della \(\displaystyle x\)?
Nota: Questo è un ragionamento valido nelle usuali coordinate \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\); quindi resta valido per un qualsiasi cambio di coordinate equivalenti a queste.
Problema: Esiste un sistema di coordinate su \(\displaystyle\gamma\), non equivalente al precedente sistema di coordinate, che rende \(\displaystyle\gamma\) una varietà differenziabile "astratta"?
Ne parliamo dopo...
Domanda: Perché non ho esplicitato la \(\displaystyle y\) in funzione della \(\displaystyle x\)?
Nota: Questo è un ragionamento valido nelle usuali coordinate \(\displaystyle x\) e \(\displaystyle y\) di \(\displaystyle\mathbb{R}^2\); quindi resta valido per un qualsiasi cambio di coordinate equivalenti a queste.
Problema: Esiste un sistema di coordinate su \(\displaystyle\gamma\), non equivalente al precedente sistema di coordinate, che rende \(\displaystyle\gamma\) una varietà differenziabile "astratta"?
Ne parliamo dopo...
@j18eos Allora, direi che non hai esplicitato la $y$ in funzione della $x$ attorno lo zero perché semplicemente non avresti una funzione. Credo di aver capito cosa intendi dire nella nota. Se non esiste un diffeomorfismo nelle usuali coordinate, di certo non ce ne sono in nessun altro sistema di coordinate, perchè il cambio di carte è un diffeomorfismo!
@j18eos Per quanto riguarda il problema astratto, proverò a fare un'ipotesi (magari clamorosamente sbagliata!). Nel problema trattato eri forzato a vedere la curva in $\mathbb{R}^2$, perciò essa ne ereditava la topologia euclidea. Sicuramente la curva è una varietà topologica omeomorfa a $\mathbb{R}$ (la proiezione sulle $y$ dovrebbe funzionare). Una cosa che mi viene in mente è creare un omeomorfismo fra $\gamma$ e una curva più regolare, magari lo stesso $\mathbb{R}$, e dotare $\gamma$ di una topologia opportuna per farla risultare una varietà differenziabile
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