Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Dimostrando il teorema spettrale (di cui scrivo solo una parte) procedendo per induzione mi trovo davanti l' ennesimo dubbio:
supposta la tesi vera per gli spazi strettamente minori di $n$, proviamola per $X$ supposto di dimensione $n$
definiamo il complemento ortogonale di $u$ come il sottospazio $W={winX:wu=0}$ $AAuinX$
$A$ trasforma $W$ in sè.
1o dubbio: immagino significhi che ...
Ciao a tutti! Sono un studente di ingegneria elettrica e mi sono imbattuto in un problema geometrico del genere che nn riesco a risolvere. Vi spiego brevemente la situazione: devo ricavare le coordinate del centro, raggio di una circonferenza e coordinate punto di tangenza della circonferenza con una retta nota.
A tale scopo si conosce:
1) equazione della retta tangente alla circonferenza: ax+by+c=0.
2) punto appartenente alla circonferenza P(xP,yP).
3) equazione su cui giàce il centro della ...
Salve a tutti, ringrazio in anticipo chi mi aiuterà a capire questo (per me) maledettissimo argomento
Allora, prendo un esercizio che stavo svolgendo ( tanto in linea generale in ogni esercizio ho difficoltà nello stesso punto )
Sia $S : \RR^3 \rarr \RR^3$ la funzione lineare associata a:
$ A = ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ),( 1 , 2 , 3 ) ) $
rispetto alla base $ B = {v_1 = (1,1,1), v_2= (0,2,2), v_3= (0,0,3)}$
L'esercizio mi chiede Si scriva la matrice associata a S rispetto alla base canonica.
Allora ...
Ciao a tutti gli utenti di questa sezione del forum.
Vi scrivo una domanda che mi pongo nel risolvere alcuni esercizi per questo esame di AL.
In realtà mi chiedo se ci sia un modo meno intuitivo e più rigoroso per fare quel che sto facendo dato che trovo una sfilza di esercizi simili nelle schede di autopreparazione.
In sostanza un esercizio tipo è quello dove: ho un sottospazio del tipo: ${(a,b,c,d);a+b=0}$
Dovendo trovarne una base ho pensato di trovare dapprima uno span di vettori (che in ...
Apro nuovo topic come mi consigliava Magma che ringrazio per il consiglio...
Dato che credo fermamente la teoria si fissi bene con gli esercizi mi piacerebbe ricapitolare un po' quanto detto fino ad ora con un esercizio. Ho le soluzioni e mi è venuto, però troppo spesso mi sembra di andare più a intuito rispetto a una base forte teorica.... eppure sto seguendo il Lang ma tutte queste cose dalla teoria seppure ben enunciata io non le avevo capite sinceramente.
Copio-incollo:
In ...
Salve,studiando le matrici associate alle applicazioni lineari mi sono travato davanti a un esercizio,che non so se ho risolto correttamente;se non vi reca disturbo,potreste aiutarmi?
L'esercizio è questo:
"Sia $V$ lo spazio vettoriale sul corpo $K$,generato dalle funzioni ${f(t),g(t)}$,che sono una base di $V$.Qual è la matrice associata all'applicazione lineare,definita dalla derivazione su questo spazio;sapendo che ...
$ CC^n $Volendo dimostrare che, dato un operatore autoaggiunto $A:CC^n->CC^n$ definito come $A(u)=\lambda(u)$ e la matrice $AinRR^(Nx N)$, ogni autospazio di $A$ contiene almeno un valore reale:
siano $\lambdainCC$ e $uinCC^n$ verificanti $A(u)=\lambda(u)$
$A$ è autoaggiunto quindi $\lambda$ è reale
fin qua tutto ok.
siano $v$ e $w$ vettori in $R^n$ (e in $CC^n$) le componenti ...
Salve a tutti,
Nell'ultima settima del corso di Geometria del primo anno abbiamo affrontato gli insiemi convessi e i vari tipi d'inviluppi. Nel rivedere gli argomenti, ho capito (correggetemi se sbaglio) che, trovare l'inviluppo convesso vuol dire trovare il piu' piccolo insieme convesso che contiene i punti e che $ C(P1,...Pn)= $ $ {t1vec(p1)+...+ tnvec(pn)} $ dove $ t1+...+tn=1 $ e $ t >= 0 $ $ =< P1,...,Pn> conv $ , ma quando poi mi ritrovo davanti ad esercizi in cui mi chiedono di trovare ...
Non ho ben compreso se la matrice di rappresentazione di un operatore autoaggiunto definito su uno spazio euclideo complesso di dimensione finita, è espressa sempre rispetto ad una base ortonormale oppure anche rispetto ad un'altra base.
Nel primo caso mi mi pare di capire che la matrice è sempre simmetrica rispetto alla diagonale che è composta da valori reali
Buonasera cari utenti.
Mi accorgo avendo svolto qualche esercizio di avere un problema nel comprendere il concetto dicosa sia il vettore nello spazio dei polinomi di grando n. $R_n [X]$
Il dubbio mi nasce perché in alcuni esercizi per vedere se tre vettori sono linearmente indipendenti si impone,come di prassi
es:
$a((1),(0),(0))=b((0),(2),(0))+c((0),(0),(1))=((0),(0),(0))$ e si valuta se a,b,c soddisfino tale relazione solo quando sono nulli. In sostanza a andrà a moltiplicare l'1, il bil 2 ecc.. quindi i coefficienti ...
Buonasera,
Sia \(\displaystyle U = \) determinare due basi a intersezione vuota tra di loro.
Ho verificato che i generatori di $U$ sono linearmente indipendenti, quindi risultano essere una base per il sottospazio vettoriale $U$.
Il mio problema è determinare una secomda base, e che la loro intersezione sia vuota.
Cordiali saluti
mi sorge un dubbio:
$A(u)u=uA(u)$ dove $A:X->X$ è un operatore lineare autoaggiunto
per quale principio possiamo invertire i membri nell'equazione?
Salve a tutti, esiste un modo diretto per dimostrare che le matrici ortogonali speciali (di classe tre) generino sempre e comunque una rotazione? Il viceversa, cioè che una matrice di rotazione è ortogonale speciale invece è ben più facile da dimostrare e non ho dubbi sul fatto che sia vero.
Mi spiego meglio, per matrice ortogonale speciale ovviamente intendo una matrice che appartenga all'insieme $ SO(3)={M \in M_3 | M*M^t=I \wedge det M = 1 } $
Per rotazione invece intendo un'isometria da $R^3 $ in ...
Ciao a tutti,
ho una domanda abbastanza semplice che mi stavo ponendo, in realtà era su un esercizio più complesso ma potrei riassumerlo con un esempio piùmsemplice possibile.
mettiamo di avere un sistema dato da:
-ky02
-cy=4
Bene, appare evidente che per essere compatibile devo imporre k,c diversi da zero. andando avanti arrivere ad avere k=c/2 e y=4/c
Però se avessi applicato Gauss e mettaimo avessi combinato le due righe (sommandole), sarei arrivato ad avere
(k+c)y=6 da cui imporrei k ...
Salve a tutti. Avrei un problema con un esercizio di Algebra Lineare.
Posto il testo del tema d'esame:
Nello spazio vettoriale M2(R) si considerino
$A = [((0,1),(1,k))((k-3,1),(k-1,0))] B = {((a,b),(c,d)) in M_2(RR) | b=2a, c=4a, d=a-2 a in RR} e v = ((0,-1),(-4,6)) k in RR $
dove k è un parametro reale. Si determinino:
• i valori di k per i quali v ∈ L(A); con L intendo copertura lineare
Risposta k = 3 (pt.3)
• i valori di k per i quali dim(L(A) ∩ L(B)) = 1.
Risposta k = 4 (pt.2)
Non so da dove partire o meglio quello che vorrei fare è trovare la copertura lineare di A e verificare che il vettore ...
in un certo punto della dimostrazione del teorema spettrale nei complessi si fa riferimento allo spazio $W= {winX: wu_i=0 , AAi=1..k}$
che è il complemento ortogonale di $<u_1,...,u_k>$ e si dice che $dimW>0$.
Si dice poi che $A(w)u_i=0$ e che $A(w)in W$ applicando il teorema di seguito indicato:
dato un operatore lineare autoaggiunto $A:X->X$
$X$ spazio Euclideo complesso
tale che $A(u)=\lambdau$, $AAuinX$, $AA\lambdainCC$
...
Se non sbaglio la matrice associata di un operatore autoaggiunto ha la diagonale costituita tutta da valori reali ed è simmetrica.
Questo accade anche se l'operatore è definito come $A:CC^n->CC^n$ indipendentemente dalla matrice A che sia nei reali o complessi?
Parlando di autovalori, autovettori si cade nell'equazione $Au=\lamdau$ ma a volte noto quest'altro formalismo con la parentesi tonda:
$A(u)=\lamdau$
$X$ spazione vettoriale, $uinX$ e $\lambda$ è uno scalare
E' la stessa cosa' ?
Salve a tutti volevo avere un vostro parere riguardo la seguente osservazione che appare sul mio libro:
Salve a tutti Ho dei dubbi riguardo alla risoluzione del seguente esercizio:
Sia $V$ uno spazio vettoriale, $W$ un suo sottospazio e $U1$,$U2$ due supplementari di $W$ in $V$. Dimostra che $U1$ e $U2$ hanno la stessa dimensione.
Siccome non è specificato se lo spazio $V$ è a dimensione finita o infinita ho provato a dimostrare l'enunciato in entrambi i casi. Per quanto ...
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