Parte della dimostrazione del teorema spettrale nei complessi

[zio_mangrovia]

in un certo punto della dimostrazione del teorema spettrale nei complessi si fa riferimento allo spazio $W={winX: wu_i=0 , AAi=1..k}$
che è il complemento ortogonale di $$ e si dice che $dimW>0$.
Si dice poi che $A(w)u_i=0$ e che $A(w)in W$ applicando il teorema di seguito indicato:

dato un operatore lineare autoaggiunto $A:X->X$
$X$ spazio Euclideo complesso
tale che $A(u)=\lambdau$, $AAuinX$, $AA\lambdainCC$
$uw=0$ allora $A(w)u=0$
quindi il complemento ortogonale di un autovettore $u$ di $A$ è invariante per $A$.

Da ciò si deduce che $W$ è invariante per $A$, ma che significa?!? Che $W$ va a finire in sé stesso se preso come dominio dell'operatore!?
Successivamente si fa riferimento al teorema degli spazi invarianti affermando che esisterà un autovettore di $A$ in $W$ ma non capisco come si colleghi questo punto al precedente, cioè al fatto che $W$ sia invariante per $A$. Mi chiedo se $W$ fosse invariante avrei potuto applicare il teorema d'esistenza autovettori?

[killing_buddha]

$W$ è invariante se $AW\subseteq W$. Questo significa che il tuo operatore si rompe come somma diretta di due operatori, uno su $W$ e uno sul suo complemento.

[zio_mangrovia]

"killing_buddha":$W$ è invariante se $AW\subseteq W$

Fin qua tutto ok si dice semplicemente che $A(W)$ rappresenta un sottoinsieme di $W$

Questo significa che il tuo operatore si rompe come somma diretta di due operatori, uno su $W$ e uno sul suo complemento.

Così è chiarissimo ma come potevo evincerlo dalla definizione del prof?!?! Negli appunti non ho trovato nessun riferimento.
In pratica ogni volta che si parla di sottospazio invariante per un operatore significa che il sottospazio è anche dominio e codominio dell'operatore lineare autoaggiunto.