Operatori autoaggiunti reali
$ CC^n $Volendo dimostrare che, dato un operatore autoaggiunto $A:CC^n->CC^n$ definito come $A(u)=\lambda(u)$ e la matrice $AinRR^(Nx N)$, ogni autospazio di $A$ contiene almeno un valore reale:
siano $\lambdainCC$ e $uinCC^n$ verificanti $A(u)=\lambda(u)$
$A$ è autoaggiunto quindi $\lambda$ è reale
fin qua tutto ok.
siano $v$ e $w$ vettori in $R^n$ (e in $CC^n$) le componenti dei quali sono rispettivamente le parti reali e immaginarie di quelle di $u$, quindi $u=v+iw$ da cui $A(u)=A(v)+iA(w)->\lambdau=\lambdav+i\lambdaw$
A mio avviso dovrebbero essere reali.
Dubbio
Non mi è chiaro perché $v$ e $w$ siano in $R^n$ (e in $CC^n$)
$v$ e $w$ sono componenti del vettore $u$, che è definito in ambito complesso, quindi rappresentano la componente reale e immaginaria e pertanto non dovrebbero far parte SOLO di $RR^n$, perché si dice "e in $CC^n$" ?
Successivamente si afferma che i seguenti elementi sono reali: $\lambda, v, w, Av, Aw$
A parte il primo elemento non ho chiaro perché gli altri dovrebbero essere reali.
siano $\lambdainCC$ e $uinCC^n$ verificanti $A(u)=\lambda(u)$
$A$ è autoaggiunto quindi $\lambda$ è reale
fin qua tutto ok.
siano $v$ e $w$ vettori in $R^n$ (e in $CC^n$) le componenti dei quali sono rispettivamente le parti reali e immaginarie di quelle di $u$, quindi $u=v+iw$ da cui $A(u)=A(v)+iA(w)->\lambdau=\lambdav+i\lambdaw$
A mio avviso dovrebbero essere reali.
Dubbio
Non mi è chiaro perché $v$ e $w$ siano in $R^n$ (e in $CC^n$)
$v$ e $w$ sono componenti del vettore $u$, che è definito in ambito complesso, quindi rappresentano la componente reale e immaginaria e pertanto non dovrebbero far parte SOLO di $RR^n$, perché si dice "e in $CC^n$" ?
Successivamente si afferma che i seguenti elementi sono reali: $\lambda, v, w, Av, Aw$
A parte il primo elemento non ho chiaro perché gli altri dovrebbero essere reali.
Risposte
provo ad aiutarti ma fatico molto a capire sia l'enunciato che la dimostrazione. ti espongo i miei dubbi.
ENUNCIATO:
consideri un operatore autoaggiunto da $CC ^n$ in sè stesso (su che campo? probabilmente $CC$). perchè non prendi uno spazio vettoriale V generico?
dici che è definito l'operatore, non è che prendi uno scalare $lambda in \mathbb{K}$ tale che sia autovalore?
ammettendo che A sia la matrice rappresentativa dell'operatore A, perchè è nei reali? se il campo è quello dei reali che bisogno c'è di dimostrare che $lambda$ è reale? lo prendo come tale con quel campo.
DIMOSTRAZIONE:
in che senso è ok? non è quello che vogliamo dimostare?
a cosa serve questo passaggio? dove vuole andare a parare (leggasi cosa sto dimostrando con questo passaggio?)?
un teorema simile a quello che conosco io recita:
ENUNCIATO:
consideri un operatore autoaggiunto da $CC ^n$ in sè stesso (su che campo? probabilmente $CC$). perchè non prendi uno spazio vettoriale V generico?
dici che è definito l'operatore, non è che prendi uno scalare $lambda in \mathbb{K}$ tale che sia autovalore?
ammettendo che A sia la matrice rappresentativa dell'operatore A, perchè è nei reali? se il campo è quello dei reali che bisogno c'è di dimostrare che $lambda$ è reale? lo prendo come tale con quel campo.
DIMOSTRAZIONE:
"zio_mangrovia":
A è autoaggiunto quindi λ è reale
in che senso è ok? non è quello che vogliamo dimostare?
"zio_mangrovia":
siano v e w vettori in Rn (e in Cn) le componenti dei quali sono rispettivamente le parti reali e immaginarie di quelle di u, quindi u=v+iw da cui A(u)=A(v)+iA(w)→λu=λv+iλw
A mio avviso dovrebbero essere reali.
a cosa serve questo passaggio? dove vuole andare a parare (leggasi cosa sto dimostrando con questo passaggio?)?
un teorema simile a quello che conosco io recita:
sia $(V, (,))$ uno spazio vettoriale euclideo, $\text{dim} V < oo$ e sia $A in end(V)$ un operatore autoaggiunto. se $lambda$ è un autovalore di T allora $lambda in RR$
Io ho invece un’altra domanda: ma autoaggiunto rispetto a chi?
Solitamente, rispetto al prodotto hermitiano standard
\[
(u,v)\mapsto \sum u_i \overline{v_i}
\]
\[
(u,v)\mapsto \sum u_i \overline{v_i}
\]
Allora ho un’altra domanda.
Se definisci $Au=lambdau,forallu inCC^n$ allora $(A-lambdaI_n)u=0,forall u inCC^n$ ma allora $A=lambdaI_n$ Il che è possibile solo se $A$ è una matrice diagonale e pertanto ha come polinomio $P(x)=(lambda-x)^n$ ed è diagonalizzabile con unico autovalore $lambda inCC$
Quindi non è che sia proprio ben definito... forse volevi dire $L(X)=AX$ con $lambda$ autovalore?
Se definisci $Au=lambdau,forallu inCC^n$ allora $(A-lambdaI_n)u=0,forall u inCC^n$ ma allora $A=lambdaI_n$ Il che è possibile solo se $A$ è una matrice diagonale e pertanto ha come polinomio $P(x)=(lambda-x)^n$ ed è diagonalizzabile con unico autovalore $lambda inCC$
Quindi non è che sia proprio ben definito... forse volevi dire $L(X)=AX$ con $lambda$ autovalore?
"cooper":
in che senso è ok? non è quello che vogliamo dimostare?
nel senso che mi torna, ho capito il passo fino qua.
Le altre domande vanno aldilà delle mie conoscenze però a questo punto vi allego il testo perché probabilmente non sono stato sufficientemente chiaro nell'esposizione:
Di nuovo grazie a tutti per la collaborazione, e spero di comprendere meglio questo mondo così ASTRATTO!
spero di comprendere meglio questo mondo così ASTRATTO!
L'algebra lineare è la parte di matematica pura meno astratta che esista (perché devono usarla gli ingegneri e matematici finti come quelli che fanno analisi numerica); buona fortuna col resto, se già sei convinto di stare vedendo cose molto astratte.
"killing_buddha":
L'algebra lineare è la parte di matematica pura meno astratta che esista (perché devono usarla gli ingegneri e matematici finti come quelli che fanno analisi numerica); buona fortuna col resto, se già sei convinto di stare vedendo cose molto astratte.
Mi aspetto un mondo molto "colorito"!
Qualcuno può aiutarmi nel quesito che ho sollevato?
"zio_mangrovia":
Non mi è chiaro perché v e w siano in Rn (e in Cn)
v e w sono componenti del vettore u, che è definito in ambito complesso, quindi rappresentano la componente reale e immaginaria e pertanto non dovrebbero far parte SOLO di Rn, perché si dice "e in Cn" ?
secondo me lo dice perchè il tutto lo puoi generalizzare anche in $CC ^n$. mi immagino infatti che se anche li consideri complessi in qualche modo riesci a spezzare il vettore in due parti che siano solo reali. a parte questo mi sembra lui lavori solo in $RR^n$.
"zio_mangrovia":
Successivamente si afferma che i seguenti elementi sono reali: λ,v,w,Av,Aw
A parte il primo elemento non ho chiaro perché gli altri dovrebbero essere reali.
v,w lo sono perchè rappresentano la parte reale ed immaginaria di u e come tali sono reali. ora qui mi sembra li consideri da subito reali, altrimenti rimaneggiando un po' secondo me li riesci comunque a prendere reali.
le due matrici sono reali perchè A è presa a valori reali per ipotesi mentre v,w abbiamo detto essere reali. dunque il prodotto di due cose reali non può che essere reale.
Grazie C. mi hai chiarito brillantemente con semplici parole chiave!
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