Immagine di un morfismo

[lf_96]

Salve a tutti,
sono nuovo su questo forum. Sto studiando il libro "Lectures on curves, surfaces and projective varieties" di Carletti-Gallarati-Monti Bragadin-Beltrametti. E' da poco che mi occupo di geometria algebrica, quindi forse la mia domanda sarà piuttosto stupida. In ogni caso, discutendo l'indipendenza di polinomi gli autori definiscono a un certo punto il morfismo $\phi : \mathbb{A}^n \rightarrow \mathbb{A}^m$ definito da
$$
y_1 = f_1(x_1,...,x_n)\\
...\\
y_m = f_m(x_1,...,x_n)\\
$$
dove gli $f_i$ sono polinomi di $ K[x_1,...,x_m]$. A questo punto si dice " Se $\phi$ non è suriettivo, la sua immagine è un sottoinsieme algebrico affine di $\mathbb{A}^n$" A me questo non sembra affatto ovvio: l'immagine potrebbe non essere un chiuso nella topologia di Zarinski , perché non è detto che un morfismo sia chiuso. Potreste aiutarmi?

[killing_buddha]

Mi sembra falso: prendi $n=m=2$ e $(x,y)\mapsto (x,xy)$. Non è suriettivo e la chiusura in Zariski è tutto il piano.

[lf_96]

Hai perfettamente ragione. Nel testo si vuole dimostrare che l'indipendenza dei polinomi $f_1,...,f_m$ equivale al fatto che il morfismo $\phi$ sia suriettivo, ma il tuo esempio mostra che anche questo è falso. A questo punto bisogna forse sostituire a "suriettivo" "tale che l'immagine sia densa in $\mathbb{A}^n$", cioè, se non sbaglio, dominante?