Base ortonormale operatore autoaggiunto

[zio_mangrovia]

Non ho ben compreso se la matrice di rappresentazione di un operatore autoaggiunto definito su uno spazio euclideo complesso di dimensione finita, è espressa sempre rispetto ad una base ortonormale oppure anche rispetto ad un'altra base.
Nel primo caso mi mi pare di capire che la matrice è sempre simmetrica rispetto alla diagonale che è composta da valori reali

[cooper1]

do una mia interpretazione alla cosa ma non so se sia corretto quanto sto dicendo.
un operatore (autoaggiunto o meno) può sempre essere espresso in matrice rispetto ad una qualsiasi base. se poi la base è o.n. allora la matrice rappresentativa di $f$ hermitiana.

[zio_mangrovia]

"cooper":do una mia interpretazione alla cosa ma non so se sia corretto quanto sto dicendo.
un operatore (autoaggiunto o meno) può sempre essere espresso in matrice rispetto ad una qualsiasi base. se poi la base è o.n. allora la matrice rappresentativa di $f$ hermitiana.

quando la base è ortonormale si chiama Hermitiana ?

[killing_buddha]

L'essere una matrice simmetrica è una proprietà che dipende dalla base che scegli, la proprietà di essere autoaggiunto no se ti restringi a cambi di base ortogonale; e il motivo per cambiare base ad una applicazione bilineare usando solo cambi ortogonali è proprio quello di non distruggere la simmetria della matrice che rappresenta l'applicazione.

[zio_mangrovia]

"killing_buddha":L'essere una matrice simmetrica è una proprietà che dipende dalla base che scegli, la proprietà di essere autoaggiunto no se ti restringi a cambi di base ortogonale; e il motivo per cambiare base ad una applicazione bilineare usando solo cambi ortogonali è proprio quello di non distruggere la simmetria della matrice che rappresenta l'applicazione.

Quindi riassumendo il cambio di base di un operatore autoaggiunto da ortonormale ad un'altra base sempre ortonormale, dove possibile, ci porta sempre verso una matrice simmetrica. Ma è anche possibile esprimere l'operatore anche con un'altra base non ortonormale, anche se la matrice perderebbe la simmetria.
Corretto?

[cooper1]

"zio_mangrovia":quando la base è ortonormale si chiama Hermitiana ?

quando la base è o.n., la matrice rappresentativa di $f$ (che chiamo A) è hermitiana si. cioè vale che $$A = A^ \dagger $$ (ovvero coincide con la sua trasposta coniugata)