Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Di seguito, riporto un sistema lineare di due equazioni in tre incognite:
$ \{(x+2y-3z=1), (2x+4y+z=2):}$
È evidente che - per il Teorema di Rouché Capelli - il sistema in oggetto è compatibile, in quanto il rango della matrice di sistema assume il massimo valore possibile, considerando il minore di ordine $n=2$ non nullo:
$ det((2,-3), (4,+1))= 14$
pertanto il sistema ammette $infty^1$ soluzioni.
Dunque si ha:
$\{(2y-3z=1-t), (4y+z=2-2t), (x=t in RR):}$
A tal punto, si calcola la matrice inversa di ...
Ciao a tutti mi sto approcciando alla geometria nello spazio, ma non riesco bene a focalizzare i problemi e vorrei un piccolo aiuto da parte vostra.
Ho un esercizio di cui viene data la retta s) $\{(x = 1 - t),(y =1 + 2t),(z = sqrt(2)):}$ e per prima cosa mi si chiede di calcolare il piano contenente s e parallelo al vettore i (siamo nel riferimento $(O,[i,j,k])$ )
Poi mi chiede di spiegare perchè non vi sarà mai un piano contenente sia l'asse x che la retta, ma non riesco a dare una spiegazione valida. Mi aiutate ...
E' da un po' di giorni che ragiono su un quesito, ma non riesco a trovare la soluzione. In pratica, l'esercizio richiede dapprima di trovare la base degli autovettori di un operatore di cui si conosce la matrice
$ ( (1, 0, 2, 0) , (0, 1, 0, 2) , (0, 0, 2, 0) , (0, 0, 0, 2) ) $ .
Se ho fatto bene i calcoli, la base degli autovettori è la seguente
$ B $ $ = $ $ { ( 1, 0, 0, 0 ) , ( 0, 1, 0, 0 ) , ( 2, 0, 1, 0 ) , ( 0, 2, 0, 1 ) } $ .
Il quesito successivo però richiede di calcolare $ F (v ) $ in base $ B $, sapendo che $ v $ in base ...
Sia P3 lo spazio vettoriale dei polinomi in x di grado minore o uguale a 3.
Si consideri l'applicazione: φ p ∈ P -->φ (p) = p(1) ∈ R
1) Mostrare che φ è lineare
2)Descrivere i sottospazi Ker φ e Im φ ,in particolare per ciascuno di essi si
individui la dimensione e si produca una base.
Potete aiutarmi a risolvere questo probelma, non ho idea di come procedere graziee
Ciao a tutti, scusate per il disturbo, mi sono bloccato su un esercizio di algebra lineare che dice di trovare l'equazione cartesiana di un piano contente la retta r e ortogonale alla retta s.
l' equazioni cartesiana della retta r è: x-y+z+1 = 0 e y-z = 0
L'equazione della retta s è : x+y+3z-1 = 0 e x+2z-2 = 0.
Premetto che io ho provato a farlo calcolando i parametri direttori delle rette, successivamente uso i parametri direttori di s per formare l'equazione del piano ax+by+cz=0 e ...
Salve ragazzi, volevo domandarvi delle cose:
Sia $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ e $B \in M_{n,k} (\mathbb{R})$ il prodotto è definito come:
$A xx C \in M_{m,k} (\mathbb{R})$ e ovviamente si può dimostrare facilmente che il prodotto non è commutativo poichè non vedrei rispettata la regola del prodotto della riga per colonna. Questo è quello che abbiamo fatto in classe, ma quello che mi chiedo è se invece le matrici $A$ e $C$ hanno lo stesso numero di righe e di colonne, ovvero se sono quadrate, ...
Ciao, ho un problema con la dimostrazione della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz. A lezione abbiamo fatto la dimostrazione algebrica, partendo dall'ipotesi:
$AA$ v,w $in$ $RR^3$ , con v,w $!=$ (0,0,0), t $in$ $RR$, v+tw $in$ $RR^3$.
Successivamente, utilizzando le proprietà del prodotto scalare, abbiamo ottenuto un polinomio positivo il che implica che il determinante $<=$ 0. Ma non ...
Salve, dovrei risolvere il problema:
Determina le equazioni del piano π contenente la retta r di equazione:
x=t+1
y=t-2
z=t+4
e parallelo alla retta s di equazioni x/3=z/2=(y-1)/1
Il problema so farlo, solo non riesco a capire come trattare la retta s per via del modo in cui è scritto.
P.S Scusate per i simboli ma sono nuovo non so come farli! Grazieeee
Testo:
In un riferimento cartesiano nel piano $(O,[i,j])$, il punto $A=(6,6$). Si scelga un versore $u$ parallelo a $i+2j$.
Determinare un vettore $w$ che formi un angolo $\pi/6$ (oppure $\5/6pi$) con $u$ e che abbia lunghezza pari a $1/2$.
Il riferimento $(A,[u,2w])$ è cartesiano? Che equazioni ha in tale riferimento la retta per $A$ parallela a $w$ ?
Ho svolto ...
Salve a tutti, vorrei sapere come si risolve questo problema.
Determina le equazioni della retta r passante per A= (1, 0, -1), parallela al piano π di equazione 3x + y = z - 1, e incidente la retta s di equazioni x=2z+1 , y-5=0 .
Grazie mille per la disponibilità !
Ciao a tutti!
Vi scrivo perchè non riesco a comprendere la correzione di un esercizio propostomi, nel quale mi si chiedeva (alla fine) di trovare l'equazione di un piano su cui giacciono due rette, r ed s, parallele (di cui sono note le rispettive equazioni cartesiane, già trovate e corrette).
La frase in questione è la seguente:
Ragazzi sto facendo un esercizio in un riferimento non cartesiano e mi si chiede di scrivere l'equazione di una retta passante per un punto e parallela ad una retta data.
Facendo riferimento ad un esercizio simile svolto dal prof in cui si richiedeva la retta ortogonale e non parallela, mi sono trovata di fronte ad un dubbio atroce sul prodotto vettoriale.
In parole povere ho il vettore parallelo alla retta che è $v=i+3j$ e il vettore parallelo alla generica retta è ...
Ciao ragazzi ho una curiosità da chiedervi.
L'esercizio l'ho svolto non è niente di apocalittico, dovevo solo calcolare l'area del triangolo i cui vertici sono i punti medi dei segmenti AB AC e BC, la mia curiosità è dovuta ad una piccola domanda tra parentesi sul mio libro, si può calcolare quest'area senza prima calcolare i 3 punti medi dei segmenti? non riesco a trovare una risposta, mi aiutate a capire?
p.s. A=(-4,-3) B=(-4,1) C=(0,2)
Ciao a tutti! mi chiamo Lorenzo sono nuovo del forum e per prima cosa vorrei ringraziarvi per il lavoro che fate sempre precisi e disponibili Ho un problema con questo esercizio d'esame che mi sta complicando l'esistenza.. Ho cercato in giro e non ho trovato particolari aiuti per risolverlo quindi sto chiedendo (abbiate pietà )
Il testo dice
Si consideri la funzione
f : R2[x] $\to$ R2[x]; p(x) $\to$ p''(x) + p'(x) + p(x).
(a) Dimostrare che la funzione f è ...
Ho provato a svolgere questo esercizio, potete dirmi se va bene o darmi magari degli spunti per farlo in un altra maniera?
Sia W = {(x, y, z) ∈ R3| x−2y+z = 0, 2x−y−z = 0}
Costruire, se esiste, un’applicazione lineare f : R3 → R3
che verifichi tutte le seguenti condizioni:
Ker f = Span(1, 0, 2), Ker f ⊆ Im f, Im f ⊕ W = R3
prima di tutto io ho esplicitato W trovando che è generato dal vettore (1,1,1) e quindi $dim(w)=1$
poi dalla prima condizione ho ricavato che $f(1,0,2)=(0,0,0)$
dalla ...
C'è un risultato abbastanza noto che dice che due sottoinsiemi $A$ e $B$ densi numerabili di $RR$ sono omeomorfi (di più! esiste un omeomorfismo $f:RR->RR$ t.c. $f(A)=B$), mi stavo chiedendo se non si potesse cambiare l'ipotesi sulla cardinalità dagli insiemi, senz'altro non vale per cardinalità uguali a quella di $RR$, in quanto $A=RR\setminusQQ$ e $B=RR\setminus{0}$ fa da controesempio, ma se io chiedo che la cardinalità sia ...
si costruisca se esiste un endomorfismo f di R^3 che verifichi le seguenti condizioni:
1) f(1,0,0)=(3,4,-1)
2) esiste un autospazio per f di dimensione 2
3) dim Imf = 2
Non riesco a venirne a capo, come mi consigliate di iniziare?
ciao, ho bisogno di una mano per risolvere il seguente esercizio di geometria proiettiva
-data una generica prospettività tra due rette nel piano proiettivo, dimostrare che è una proiettività. Inoltre dimostrare che una proiettività, che fissa il punto di intersezione tra le rette, è una prospettività.
Non so proprio come procedere, grazie in anticipo.
Buona sera,
avrei un problema con un certo esercizio di geometria 1 di cui non riesco a comprendere la risoluzione:
dato il sistema:
3x1+x2+x3+x4=0
5x1-x2+x3-x4=0
trovare le soluzioni.
Ho già creato la matrice delle incognite e ridotta ottenendo rango 2, quindi so che dipende da due parametri. Premettendo che non credo di aver ben compreso come trovo esattamente la dipendenza da tali parametri, come posso risolverlo?
Le soluzioni sono (-s,-t-s, 4s , t)
Grazie.
Ciao, se ho due rette per affermare che esse sono perpendicolari basta fare il prodotto scalare tra i loro vettori direzione e vedere se esso è nullo ?Così come per vedere se sono parallele basta fare il prodotto vettoriale e vedere se è nullo?
Un'altra cosa:c'è differenza tra l'equazione parametrica di un retta (o di un piano ) e l'equazione parametrica vettoriale?
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