Esercizio algebra lineare
E' da un po' di giorni che ragiono su un quesito, ma non riesco a trovare la soluzione. In pratica, l'esercizio richiede dapprima di trovare la base degli autovettori di un operatore di cui si conosce la matrice
$ ( (1, 0, 2, 0) , (0, 1, 0, 2) , (0, 0, 2, 0) , (0, 0, 0, 2) ) $ .
Se ho fatto bene i calcoli, la base degli autovettori è la seguente
$ B $ $ = $ $ { ( 1, 0, 0, 0 ) , ( 0, 1, 0, 0 ) , ( 2, 0, 1, 0 ) , ( 0, 2, 0, 1 ) } $ .
Il quesito successivo però richiede di calcolare $ F (v ) $ in base $ B $, sapendo che $ v $ in base $ B $ appartiene a $ RR^4 $.
Il nostro professore dice che la matrice degli autovettori è "speciale"... Grazie in anticipo!
$ ( (1, 0, 2, 0) , (0, 1, 0, 2) , (0, 0, 2, 0) , (0, 0, 0, 2) ) $ .
Se ho fatto bene i calcoli, la base degli autovettori è la seguente
$ B $ $ = $ $ { ( 1, 0, 0, 0 ) , ( 0, 1, 0, 0 ) , ( 2, 0, 1, 0 ) , ( 0, 2, 0, 1 ) } $ .
Il quesito successivo però richiede di calcolare $ F (v ) $ in base $ B $, sapendo che $ v $ in base $ B $ appartiene a $ RR^4 $.
Il nostro professore dice che la matrice degli autovettori è "speciale"... Grazie in anticipo!
Risposte
Voglio fare una magia 
Dammi un vettore qualsiasi di $R^4$ e con i miei poteri da paragnosta ti dirò a cosa equivale T(v) in base B
Dammi un vettore qualsiasi di $R^4$ e con i miei poteri da paragnosta ti dirò a cosa equivale T(v) in base B
L'esercizio è stato proposto dal professore, non l'ho inventato io. Probabilmente, va risolto considerando un vettore $ v $ con coordinate letterali... Tuttavia, dal momento che il professore ha chiamato la matrice degli autovalori "speciale" pensavo che potesse esserci una risoluzione per via numerica per qualche strana relazione che, a quanto pare, non esiste. Ti ringrazio ugualmente @Bokonon.
"Rodrigo Ely":
L'esercizio è stato proposto dal professore, non l'ho inventato io. Probabilmente, va risolto considerando un vettore $ v $ con coordinate letterali... Tuttavia, dal momento che il professore ha chiamato la matrice degli autovalori "speciale" pensavo che potesse esserci una risoluzione per via numerica per qualche strana relazione che, a quanto pare, non esiste. Ti ringrazio ugualmente @Bokonon.
Scusami eh, non intendevo prenderti in giro.
Prendi un vettore qualsiasi $v$ di $R^4$.
La matrice degli autovettori ne è una base, quindi:
$ v=alpha_1( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) + alpha_2( ( 0 ),( 1 ),( 0 ),( 0 ) ) + alpha_3( ( 2 ),( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) + alpha_4( ( 0 ),( 2 ),( 0 ),( 1 ) )= alpha_1b_1+alpha_2b_2+alpha_3b_3+alpha_4b_4$
In altre parole i coefficienti alpha sono il vettore v in base B. Ora applichiamo la trasformazione, ovvero la matrice T.
$ Tv= T*(alpha_1b_1+alpha_2b_2+alpha_3b_3+alpha_4b_4)=alpha_1Tb_1+alpha_2Tb_2+alpha_3Tb_3+alpha_4Tb_4=alpha_1lambda_1b_1+alpha_2lambda_2b_2+alpha_3lambda_3b_3+alpha_4lambda_4b_4$
I valori degli autovalori corrispondenti ai vari autovettori li conosciamo, quindi:
$Tv=alpha_1b_1+alpha_2b_2+2alpha_3b_3+2alpha_4b_4=B( ( alpha_1 ),( alpha_2 ),( 2alpha_3 ),( 2alpha_4 ) )$
Quindi il vettore v trasformato in base B lo vedi in tutto il suo splendore e noterai anche (comparando le due matrici) che:
$T( ( v1 ),( v_2 ),( v_3 ),( v_4 ) )=B( ( v1 ),( v_2 ),( 2v_3 ),( 2v_4 ) )$
Ho capito... Dunque non si arriva mai ad una soluzione numerica, l'esercizio si risolve utilizzando un vettore generico di $ RR^4 $.
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