Help Esercizio su cambio di riferimento
Testo:
In un riferimento cartesiano nel piano $(O,[i,j])$, il punto $A=(6,6$). Si scelga un versore $u$ parallelo a $i+2j$.
Determinare un vettore $w$ che formi un angolo $\pi/6$ (oppure $\5/6pi$) con $u$ e che abbia lunghezza pari a $1/2$.
Il riferimento $(A,[u,2w])$ è cartesiano? Che equazioni ha in tale riferimento la retta per $A$ parallela a $w$ ?
Ho svolto l'esercizio ma ho dei dubbi.
1) il versore u l'ho scelto di componenti (1/$sqrt(5)$ , 2/$sqrt(5)$)
2) ho scelto come angolo $\pi/6$ quindi ho ragionato in questo modo:
-il coseno di $\pi/6$ è uguale a $sqrt(3)$/2
-ho considerato il generico vettore $w=ai+bj$
-dai dati ho che la lunghezza di $w=1/2$
-la lunghezza di u è $1$
-il prodotto scalare tra w e u è pari a (a/$sqrt(5)$ +2b/$sqrt(5)$)
usando a questo punto la formula del coseno dell'angolo tra i due vettori ho:
(a/$sqrt(5)$ +2b/$sqrt(5)$)/(1/2)=$sqrt(3)$/2
e quindi:
(a/$sqrt(5)$ +2b/$sqrt(5)$)=$sqrt(3)$
elevo al quadrato e mi ritrovo la seguente equazione:
$a^2$+4$b^2$+4ab+15=0
mi ricavo la a=-2b$+-$ $sqrt(15)$
qundi scelgo un vettore ad es di componenti (-2b+$sqrt(15)$ , b), ponendo b=0 ho che le componenti sono ($sqrt(15)$ ,0) e quindi ho il mio vettore $w=$ $sqrt(15)$ $i$
Vorrei capire se è ho fatto bene oppure no.
3)come faccio a spiegare se il nuovo riferimento è cartesiano o meno?
Grazie mille a chi risponderà!
In un riferimento cartesiano nel piano $(O,[i,j])$, il punto $A=(6,6$). Si scelga un versore $u$ parallelo a $i+2j$.
Determinare un vettore $w$ che formi un angolo $\pi/6$ (oppure $\5/6pi$) con $u$ e che abbia lunghezza pari a $1/2$.
Il riferimento $(A,[u,2w])$ è cartesiano? Che equazioni ha in tale riferimento la retta per $A$ parallela a $w$ ?
Ho svolto l'esercizio ma ho dei dubbi.
1) il versore u l'ho scelto di componenti (1/$sqrt(5)$ , 2/$sqrt(5)$)
2) ho scelto come angolo $\pi/6$ quindi ho ragionato in questo modo:
-il coseno di $\pi/6$ è uguale a $sqrt(3)$/2
-ho considerato il generico vettore $w=ai+bj$
-dai dati ho che la lunghezza di $w=1/2$
-la lunghezza di u è $1$
-il prodotto scalare tra w e u è pari a (a/$sqrt(5)$ +2b/$sqrt(5)$)
usando a questo punto la formula del coseno dell'angolo tra i due vettori ho:
(a/$sqrt(5)$ +2b/$sqrt(5)$)/(1/2)=$sqrt(3)$/2
e quindi:
(a/$sqrt(5)$ +2b/$sqrt(5)$)=$sqrt(3)$
elevo al quadrato e mi ritrovo la seguente equazione:
$a^2$+4$b^2$+4ab+15=0
mi ricavo la a=-2b$+-$ $sqrt(15)$
qundi scelgo un vettore ad es di componenti (-2b+$sqrt(15)$ , b), ponendo b=0 ho che le componenti sono ($sqrt(15)$ ,0) e quindi ho il mio vettore $w=$ $sqrt(15)$ $i$
Vorrei capire se è ho fatto bene oppure no.
3)come faccio a spiegare se il nuovo riferimento è cartesiano o meno?
Grazie mille a chi risponderà!
Risposte
Al momento non ho guardato i conti ma se ti chiede $||w||=1/2$ e trovi che $w=(sqrt(15),0)$ sicuramente qualcosa non va visto che la sua lunghezza è $15$
Dipende da cosa definisci tu per riferimento cartesiano, io ne ho sentite di tutti i colori
sicuramente la base deve essere ortogonale, l’unica differenza che ho trovato è stata sul fatto che i vettori debbano essere o versori, o aventi la stessa unità di misura, o basta che siano ortogonali.
Ma considerando che $w$ e $u$ devono formare un angolo di $(pi)/6$ sicuramente non lo sarà
Ricorda che $cos(theta)=(v*w)/(||v||*||w||)$
Dipende da cosa definisci tu per riferimento cartesiano, io ne ho sentite di tutti i colori
sicuramente la base deve essere ortogonale, l’unica differenza che ho trovato è stata sul fatto che i vettori debbano essere o versori, o aventi la stessa unità di misura, o basta che siano ortogonali.Ma considerando che $w$ e $u$ devono formare un angolo di $(pi)/6$ sicuramente non lo sarà
Ricorda che $cos(theta)=(v*w)/(||v||*||w||)$
Innanzitutto grazie per la risposta
Hai perfettamente ragione, come l'idiota che sono non ho controllato che la lunghezza fosse 1/2, però ho riguardato i calcoli 5 volte da quando ho letto il tuo messaggio e ho fatto un errore in realtà esce fuori a=-b$+-$$(sqrt(15)/8)$ e quindi se considero il generico le componenti (-b+$(sqrt(15)/8)$) , b) e prendo b=0 avrò ($(sqrt(15)/8)$ , 0) e quindi la lunghezza è circa 0.48 quindi penso vada bene no?
Ti scrivo quel che dice il libro e quel poco che ho sugli appunti!
Per definizione, un riferimento R del piano è una coppia (O,[i,j]) costituita da un punto O appartenente al piano e da un sistema di vettori geometrici indipendenti paralleli al piano che, quindi, costituisce una base di $V2$.
Per i riferimenti si usano gli aggettivi ortogonale, ortonormale o cartesiano se tale è la base in essi contenuta. Le coordinate del punto P=(x,y) in R sono, per definizione, le componenti del vettore OP nella base [i,j].
In più negli appunti ho che in un sistema cartesiano sono validi i seguenti prodotti scalari: i*i=1 , j*j=1 e i*j=0.
"anto_zoolander":
Al momento non ho guardato i conti ma se ti chiede $||w||=1/2$ e trovi che $w=(sqrt(15),0)$ sicuramente qualcosa non va visto che la sua lunghezza è $15$
Ricorda che $cos(theta)=(v*w)/(||v||*||w||)$
Hai perfettamente ragione, come l'idiota che sono non ho controllato che la lunghezza fosse 1/2, però ho riguardato i calcoli 5 volte da quando ho letto il tuo messaggio e ho fatto un errore in realtà esce fuori a=-b$+-$$(sqrt(15)/8)$ e quindi se considero il generico le componenti (-b+$(sqrt(15)/8)$) , b) e prendo b=0 avrò ($(sqrt(15)/8)$ , 0) e quindi la lunghezza è circa 0.48 quindi penso vada bene no?
"anto_zoolander":
Dipende da cosa definisci tu per riferimento cartesiano, io ne ho sentite di tutti i colori
Ma considerando che $w$ e $u$ devono formare un angolo di $(pi)/6$ sicuramente non lo sarà
Ti scrivo quel che dice il libro e quel poco che ho sugli appunti!
Per definizione, un riferimento R del piano è una coppia (O,[i,j]) costituita da un punto O appartenente al piano e da un sistema di vettori geometrici indipendenti paralleli al piano che, quindi, costituisce una base di $V2$.
Per i riferimenti si usano gli aggettivi ortogonale, ortonormale o cartesiano se tale è la base in essi contenuta. Le coordinate del punto P=(x,y) in R sono, per definizione, le componenti del vettore OP nella base [i,j].
In più negli appunti ho che in un sistema cartesiano sono validi i seguenti prodotti scalari: i*i=1 , j*j=1 e i*j=0.
allora andiamoci piano, perchè può tranquillamente venire $1/2$ e non $0,48$.
consideriamo il riferimento standard $(O,i,j)$ il punto $A=(6,6)$ e il vettore $u=(1/sqrt(5),2/sqrt(5))$ che come hai ben notato è un versore parallelo a $i+2j$. Chiaramente i versori sono $pmu$ ma scegliamo quello con $+$.
successivamente ci chiede di trovare un vettore di lunghezza $1/2$ che formi un angolo di $pi/6$ con $u$.
Prendiamo un generico vettore come da te considerato $w=(a,b)$ e imponiamo che sia soddisfatto un sistema con entrambe le condizioni
la prima sarà quella per cui $1/4=||w||^2=a^2+b^2$
la seconda è quella per cui $sqrt3/2=cos(theta)=(v*w)/(||v||*||w||)=(a/sqrt5+(2b)/sqrt5)/sqrt(a^2+b^2)$
dalla prima si ottiene $a=sqrt(15)/4-2b$
infatti sarebbe $sqrt3/2=2/sqrt5 (a+2b)$
quindi in realtà ne abbiamo due di vettori, prendiamo quello con $+$ che non cambia nulla, solo da quale lato è 'aperto' l'angolo.
$2w=2(a,b)=[(2sqrt(15)pmsqrt(5))/(10)]i+[sqrt(15)/2-(2sqrt(15)pmsqrt5)/5]j$
è chiaro che $||2w||=2||w||=2*1/2=1$ quindi $2w$ è un versore.
Inoltre $R(A,{u,2w})$ è sicuramente un riferimento poichè $A$ è un punto di $RR^2$ e ${u,2w}$ una base(tra l'altro di vettori di norma uno) dello spazio vettoriale $RR^2$
dai tuoi appunti risulta che un sistema $R(O,{v,w})$ è un riferimento cartesiano se $R$ è un riferimento e ${v,w}$ una base ortonormale in quanto chiedere che $v*w=0$ significa chiedere che siano ortogonali e chiedere che abbiano norma unitaria in quanto $v*v =1 <=> sqrt(v*v)=||v||=1$.
nel nostro caso abbiamo una base di vettori di norma unitaria, ma non ortogonale, in quanto già dalla richiesta dell'esercizio si chiedere che i vettori $u,w$ formassero un angolo diverso da $pi/2$
inoltre è chiaro che riscaldare due vettori non ne muta l'angolo in quanto se $u,v$ sono vettori e $k,h$ scalari no nulli
$((ku)*(hv))/(||ku||*||hu||)=((kh)*(u*v))/(|kh|*||u||*||v||)=(kh)/(|kh|)*(u*v)/(||u||*||v||)=pm(u*v)/(||u||*||v||)$
quindi se moltiplichiamo per scalari positivi l'angolo rimane identico.
consideriamo il riferimento standard $(O,i,j)$ il punto $A=(6,6)$ e il vettore $u=(1/sqrt(5),2/sqrt(5))$ che come hai ben notato è un versore parallelo a $i+2j$. Chiaramente i versori sono $pmu$ ma scegliamo quello con $+$.
successivamente ci chiede di trovare un vettore di lunghezza $1/2$ che formi un angolo di $pi/6$ con $u$.
Prendiamo un generico vettore come da te considerato $w=(a,b)$ e imponiamo che sia soddisfatto un sistema con entrambe le condizioni
la prima sarà quella per cui $1/4=||w||^2=a^2+b^2$
la seconda è quella per cui $sqrt3/2=cos(theta)=(v*w)/(||v||*||w||)=(a/sqrt5+(2b)/sqrt5)/sqrt(a^2+b^2)$
dalla prima si ottiene $a=sqrt(15)/4-2b$
infatti sarebbe $sqrt3/2=2/sqrt5 (a+2b)$
$(sqrt(15)/4-2b)^2+b^2=1/4 => 15/16-sqrt(15)b+5b^2=1/4$
$15-16sqrt(15)b+80b^2=4 => 80b^2-sqrt(3840)b+11=0$
$Delta=320$ e $b_(1,2)=(16sqrt(15)pmsqrt(320))/(160)=(2sqrt(15)pmsqrt(5))/(20)$
e quindi $a=sqrt(15)/4-(2sqrt(15)pmsqrt5)/10$
$15-16sqrt(15)b+80b^2=4 => 80b^2-sqrt(3840)b+11=0$
$Delta=320$ e $b_(1,2)=(16sqrt(15)pmsqrt(320))/(160)=(2sqrt(15)pmsqrt(5))/(20)$
e quindi $a=sqrt(15)/4-(2sqrt(15)pmsqrt5)/10$
quindi in realtà ne abbiamo due di vettori, prendiamo quello con $+$ che non cambia nulla, solo da quale lato è 'aperto' l'angolo.
$2w=2(a,b)=[(2sqrt(15)pmsqrt(5))/(10)]i+[sqrt(15)/2-(2sqrt(15)pmsqrt5)/5]j$
è chiaro che $||2w||=2||w||=2*1/2=1$ quindi $2w$ è un versore.
Inoltre $R(A,{u,2w})$ è sicuramente un riferimento poichè $A$ è un punto di $RR^2$ e ${u,2w}$ una base(tra l'altro di vettori di norma uno) dello spazio vettoriale $RR^2$
dai tuoi appunti risulta che un sistema $R(O,{v,w})$ è un riferimento cartesiano se $R$ è un riferimento e ${v,w}$ una base ortonormale in quanto chiedere che $v*w=0$ significa chiedere che siano ortogonali e chiedere che abbiano norma unitaria in quanto $v*v =1 <=> sqrt(v*v)=||v||=1$.
nel nostro caso abbiamo una base di vettori di norma unitaria, ma non ortogonale, in quanto già dalla richiesta dell'esercizio si chiedere che i vettori $u,w$ formassero un angolo diverso da $pi/2$
inoltre è chiaro che riscaldare due vettori non ne muta l'angolo in quanto se $u,v$ sono vettori e $k,h$ scalari no nulli
$((ku)*(hv))/(||ku||*||hu||)=((kh)*(u*v))/(|kh|*||u||*||v||)=(kh)/(|kh|)*(u*v)/(||u||*||v||)=pm(u*v)/(||u||*||v||)$
quindi se moltiplichiamo per scalari positivi l'angolo rimane identico.
Ti ringrazio, mi hai chiarito ogni dubbio!
Prego
Comunque ho sbagliato a scrivere una cosa: riscaldare=riscalare
Comunque ho sbagliato a scrivere una cosa: riscaldare=riscalare
Ti posso scomodare per un altro dubbio sul riferimento?
Ho un altro esercizio in cui ho un sistema cartesiano e una circonferenza $x^2$ $+$ $y^2$ $-4y-1=0$ , mi si chiede di scegliere due punti A e B sulla circonferenza in modo da non essere allineati con il centro. Poi dice di determinare un riferimento in cui i punti di cui sopra abbiano le seguenti coordinate $C=(0,0)$ $A=(1,0)$ e $B=(0,1)$.
Mi sto un pò imbrogliando con questo riferimento xchè ho ragionato in questo modo:
-ho calcolato $C=(0,2)$
-il raggio è $R=$ $sqrt(5)$
-ho considerato come punto B una delle due intersezioni della circonferenza con l'asse y e quindi le coordinate sono $B=(0,2+$ $sqrt(5)$ $)$
-come punto A ho preso il punto $A=($ $sqrt(5)$ $,2)$
In questo modo ho pensato di prendere come nuovo asse x quello passante per il centro e parallelo a x e lasciare y invariato anche nel nuovo riferimento.
Ma come esprimo che quella distanza, che altro non è il raggio della circonferenza, sia pari a 1 e non a $sqrt(5)$ ?
Ho un altro esercizio in cui ho un sistema cartesiano e una circonferenza $x^2$ $+$ $y^2$ $-4y-1=0$ , mi si chiede di scegliere due punti A e B sulla circonferenza in modo da non essere allineati con il centro. Poi dice di determinare un riferimento in cui i punti di cui sopra abbiano le seguenti coordinate $C=(0,0)$ $A=(1,0)$ e $B=(0,1)$.
Mi sto un pò imbrogliando con questo riferimento xchè ho ragionato in questo modo:
-ho calcolato $C=(0,2)$
-il raggio è $R=$ $sqrt(5)$
-ho considerato come punto B una delle due intersezioni della circonferenza con l'asse y e quindi le coordinate sono $B=(0,2+$ $sqrt(5)$ $)$
-come punto A ho preso il punto $A=($ $sqrt(5)$ $,2)$
In questo modo ho pensato di prendere come nuovo asse x quello passante per il centro e parallelo a x e lasciare y invariato anche nel nuovo riferimento.
Ma come esprimo che quella distanza, che altro non è il raggio della circonferenza, sia pari a 1 e non a $sqrt(5)$ ?
allora cominciamo prendendo $x^2+y^2-4y=1$
Non sapendo che riferimento c'è di partenza considero che quelle siano tutte coordinate ovvero $C(0,2)$ sono le coordinate del centro della circonferenza rispetto al riferimento $R(O,[v,w])$ che non ho idea di quale sia.
i punti di coordinate $X(1,0)$ e $Y(2,1)$ sono due punti non allineati con il punto $C(0,2)$. Basta controllare $$ che se fossero allineati avrebbe dimensione $1$
$CX$ è il vettore di coordinate $X-C=(1,-2)=v-2w$
$CY$ è il vettore di coordinate $Y-C=(2,-1)=2v-w$
che sono indipendenti
quindi vogliamo porre il riferimento $R(C,[v-2w,2v-w])$ e considerare la circonferenza $S(C,sqrt5)$
rispetto a questo riferimento chiaramente $X(1,0)=CX=1*(v-2w)$ e lo stesso vale per il punto $Y$ che ha coordinate $(0,1)$ in quanto $Y(0,1)=CY=1*(v-2w)$ e il punto $C$ avrà banalmente coordinata $(0,0)$ anche se non lo conosciamo, è univocamente determinato.
ponendo $P(x,y)$ di coordinate generiche il problema è che non sappiamo né i vettori né niente.
Quindi per ricavarci la norma dobbiamo conoscere la matrice del prodotto scalare che chiaramente sarà il prodotto scalare standard ma rispetto a una base di cui conosciamo solo le coordinate, ma sappiamo che $[v,w]$ è un sistema ortonormale di $RR^2$ pertanto in genere rispetto a tale base
pertanto la matrice sarà $[(5,4),(4,5)]$ quindi la norma a quadrato sarà data da
[size=85]
quindi la circonferenza cercata sarà $5x^2+8xy+5y^2=5$
nota che il termine $xy$ spunta perchè la base non è ortogonale, di fatto se la rappresenti su Desmos per esempio ti spunta che il luogo delle coordinate non è una circonferenza, bensì una ellisse.
di fatto nota che in genere se hai un prodotto scalare e una base non gonale avrai che
$||v||^2=ax^2+2bxy+cy^2$ mentre se la base è ortogonale chiaramente $b=0$
Tieni sempre bene a mente che punti e coordinate sono totalmente distinti e se una circonferenza è quello che ci immaginiamo non è detto che l'insieme delle coordinate che stanno su una circonferenza in genere non ha nulla a che fare con la solita equazione del tipo $x^2+y^2+ax+by+c=0$
di fatto i vettori vengono ruotati e magari il modo in cui avviene la rotazione fa schifo
se lo stesso lo avessimo fatto con i punti, supponendo che il riferimento iniziale fosse quello standard con origine nel punto $(0,0)$ e vettori della base canonica avremmo il riferimento dato da
$C=(0,2)$ , $v-2w=(1,-2)$ e $2v-w=(2,-1)$
Per esempio il punto $(2,1)$ soddisfa l'equazione delle coordinate rispetto al primo riferimento ma non rispetto al secondo.
Se ci pensi è perchè $CP$ in genere lo prendiamo in coordinate quindi per esempio il punto di coordinate $(1,0)$ soddisferà chiaramente l'equazione e $CP=1(v-2w)$ che sarà $OP=OC+(v-2w)=2w+(v-2w)=v$ e otteniamo nuovamente le coordinate rispetto al vecchio riferimento.
Naturalmente potevamo scegliere $X,Y$ in modo tale che si ottenga un riferimento quantomeno ortogonale.
Infatti con i punti da te trovati avremmo avuto una base ortogonale in quanto
da cui otteniamo che $CA=(0,sqrt(5))=wsqrt5 $ e $CB=(sqrt5,0)=vsqrt5$
e poniamo $R(C,[vsqrt5,wsqrt5])$ da cui banalmente la matrice sarà
dunque questa volta la circonferenza sarà
Se hai qualche dubbio chiedi pure.
Non sapendo che riferimento c'è di partenza considero che quelle siano tutte coordinate ovvero $C(0,2)$ sono le coordinate del centro della circonferenza rispetto al riferimento $R(O,[v,w])$ che non ho idea di quale sia.
i punti di coordinate $X(1,0)$ e $Y(2,1)$ sono due punti non allineati con il punto $C(0,2)$. Basta controllare $
$CX$ è il vettore di coordinate $X-C=(1,-2)=v-2w$
$CY$ è il vettore di coordinate $Y-C=(2,-1)=2v-w$
che sono indipendenti
quindi vogliamo porre il riferimento $R(C,[v-2w,2v-w])$ e considerare la circonferenza $S(C,sqrt5)$
rispetto a questo riferimento chiaramente $X(1,0)=CX=1*(v-2w)$ e lo stesso vale per il punto $Y$ che ha coordinate $(0,1)$ in quanto $Y(0,1)=CY=1*(v-2w)$ e il punto $C$ avrà banalmente coordinata $(0,0)$ anche se non lo conosciamo, è univocamente determinato.
$forallP in S(C,sqrt5) => ||CP||^2=5$
ponendo $P(x,y)$ di coordinate generiche il problema è che non sappiamo né i vettori né niente.
Quindi per ricavarci la norma dobbiamo conoscere la matrice del prodotto scalare che chiaramente sarà il prodotto scalare standard ma rispetto a una base di cui conosciamo solo le coordinate, ma sappiamo che $[v,w]$ è un sistema ortonormale di $RR^2$ pertanto in genere rispetto a tale base
$(v-2w)*(v-2w)=(v*v)-4(v*w)+4(w*w)=1+4=5$
$(v-2w)*(2v-w)=2(v*v)-(v*w)-4(v*w)+2(w*w)=2+2=4$
$(2v-w)*(2v-w)=4(v*v)-4(v*w)+(w*w)=5$
$(v-2w)*(2v-w)=2(v*v)-(v*w)-4(v*w)+2(w*w)=2+2=4$
$(2v-w)*(2v-w)=4(v*v)-4(v*w)+(w*w)=5$
pertanto la matrice sarà $[(5,4),(4,5)]$ quindi la norma a quadrato sarà data da
[size=85]
$5=||CP||^2=(CP)*(CP)=[(x,y)][(5,4),(4,5)][(x),(y)]=[(5x+4y,4x+5y)][(x),(y)]=5x^2+8xy+5y^2$
[/size]quindi la circonferenza cercata sarà $5x^2+8xy+5y^2=5$
nota che il termine $xy$ spunta perchè la base non è ortogonale, di fatto se la rappresenti su Desmos per esempio ti spunta che il luogo delle coordinate non è una circonferenza, bensì una ellisse.
di fatto nota che in genere se hai un prodotto scalare e una base non gonale avrai che
$||v||^2=ax^2+2bxy+cy^2$ mentre se la base è ortogonale chiaramente $b=0$
Tieni sempre bene a mente che punti e coordinate sono totalmente distinti e se una circonferenza è quello che ci immaginiamo non è detto che l'insieme delle coordinate che stanno su una circonferenza in genere non ha nulla a che fare con la solita equazione del tipo $x^2+y^2+ax+by+c=0$
di fatto i vettori vengono ruotati e magari il modo in cui avviene la rotazione fa schifo
se lo stesso lo avessimo fatto con i punti, supponendo che il riferimento iniziale fosse quello standard con origine nel punto $(0,0)$ e vettori della base canonica avremmo il riferimento dato da
$C=(0,2)$ , $v-2w=(1,-2)$ e $2v-w=(2,-1)$
Per esempio il punto $(2,1)$ soddisfa l'equazione delle coordinate rispetto al primo riferimento ma non rispetto al secondo.
Se ci pensi è perchè $CP$ in genere lo prendiamo in coordinate quindi per esempio il punto di coordinate $(1,0)$ soddisferà chiaramente l'equazione e $CP=1(v-2w)$ che sarà $OP=OC+(v-2w)=2w+(v-2w)=v$ e otteniamo nuovamente le coordinate rispetto al vecchio riferimento.
Naturalmente potevamo scegliere $X,Y$ in modo tale che si ottenga un riferimento quantomeno ortogonale.
Infatti con i punti da te trovati avremmo avuto una base ortogonale in quanto
$A(0,sqrt(5)+2)$ e $B(sqrt5,2)$
da cui otteniamo che $CA=(0,sqrt(5))=wsqrt5 $ e $CB=(sqrt5,0)=vsqrt5$
e poniamo $R(C,[vsqrt5,wsqrt5])$ da cui banalmente la matrice sarà
$[(5,0),(0,5)]$
dunque questa volta la circonferenza sarà
$5x^2+5y^2=5 <=> x^2+y^2=1$
Se hai qualche dubbio chiedi pure.
"anto_zoolander":
$ R(C,[vsqrt5,wsqrt5]) $
Ecco io avevo messo esattamente questo riferimento però mi sembrava non fosse giusto , non so perchè. Saranno le scarse informazioni, perchè l'unica cosa spiegata a lezione era la matrice di cambiamento di base e quindi sto facendo uno sforzo enorme per fare questi esercizi.
Ora mi leggo meglio tutta la tua spiegazione perchè l'ho letta un pò di fretta.
Grazie ancora
"anto_zoolander":
rispetto a questo riferimento chiaramente $X(1,0)=CX=1*(v-2w)$ e lo stesso vale per il punto $Y$ che ha coordinate $(0,1)$ in quanto $Y(0,1)=CY=1*(v-2w)$ e il punto $C$ avrà banalmente coordinata $(0,0)$ anche se non lo conosciamo, è univocamente determinato.
$Y(0,1)=CY=1*(v-2w)$ non è un errore? non dovrebbe essere $Y(0,1)=CY=1*(2v-w)$ è l'unica cosa che non mi torna della spiegazione.
Se ci fai caso ho scritto prima $2v-w$ e poi ho scritto $CX,CY$ uguali
Sarà stata distrazione, comunque non influisce.
Sarà stata distrazione, comunque non influisce.
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