Determinare, se E, due basi B1 e B2 di R4 contenenti B:

[Leonardo3246]

Salve a tutti, nella risulozione di questa traccia di esame, mi sono ritrovato in difficoltà a capire cosa intende il professore nell'esercizio numero 1 al punto b) con "Determinare, se E, due basi B1 e B2 di R4 contenenti B". Siccome la Dim di U è 2, e una base è ad esempio, B[(5,1,0,0),(0,0,3,1)], dato che B[(5a,a,3b,b)]. Cosa devo fare? Non sto davvero capendo cosa può intendere... Grazie Mille Anticipate a chiunque mi risponderà.

[Magma1]

$dim(RR^4)=4$, quindi devi costruire due basi di $RR^4$ partendo dalla base $mathcalB$.

[Leonardo3246]

$ alpha $ Dunque devo dare ad a e b altri due valori casuali in modo da ottenere altre due basi?
Ad Esempio: $ alpha = 2, beta = 2 $ $ ; alpha = 3,beta = 3rArr B(10,2,6,2),(15,3,9,3) $ . Giusto ?

[Magma1]

"rion3246":$ alpha $ Dunque devo dare ad a e b altri due valori casuali in modo da ottenere altre due basi?
Ad Esempio: $ alpha = 2, beta = 2 $ $ ; alpha = 3,beta = 3rArr B(10,2,6,2),(15,3,9,3) $ . Giusto ?

$V$ sottospazio vettoriale finitamente generato di dimensione $n$, $v_,..., v_r in V$ l. i. con $r<=n$.
Allora $EE mathcalA \text{ base di } V : qquad v_,...,v_r in mathcalA$

ciò è una diretta conseguenza del lemma di Steinitz: ossia ogni insieme di vettori l. i. si amplia a una base:

I vettori di $mathcalB$ sono una base di $U$, e in particolare sono l. i.; pertanto per trovare, per esempio $mathcalB_1$ base di $RR^4$, è sufficiente aggiungere dei vettori che non siano c. l. di quelli contenuti in $mathcalB$.

[Leonardo3246]

Quindi basta che aggiungo due vettori per ogni base B1 e B2 $ in R $ , ad esempio i vettori della base canonica?
B1=(1,0,0,0),(0,1,0,0)
B2=(0,0,1,0),(0,0,0,1)

[Magma1]

"rion3246":Quindi basta che aggiungo due vettori per ogni base B1 e B2 $ in R $ , ad esempio i vettori della base canonica?
$B_1=(1,0,0,0),(0,1,0,0)$
$B_2=(0,0,1,0),(0,0,0,1)$

(1) aggiungere significa che oltre ai nuovi elementi ci devono stare anche quelli di partenza;
(2) inoltre come già detto $dim(RR^4)=4$, pertanto una base di $RR^4$ deve contenere $4$ vettori.
(3) per dire che un insieme è contenuto in un altro insieme si deve usare il simobolo $sube$ e non $in$.
(4) la base $mathcalB$ da te riportata è questa $B={((5),(1),(0),(0)),((0),(0),(3),(1))}$, quindi considerando i vettori che avresti voluto aggiungere:

$mathcalB_1={((5),(1),(0),(0)),((0),(0),(3),(1))}uu {((1),(0),(0),(0)),((0),(1),(0),(0))}={((5),(1),(0),(0)),((0),(0),(3),(1)),((1),(0),(0),(0)),((0),(1),(0),(0))}$

si vede subito che

$((5),(1),(0),(0))=5((1),(0),(0),(0))+((0),(1),(0),(0))$

e se un vettore è C.L. di altri vettori, concorderai anche tu che esso non potrà essere l. i.; vero?

[Leonardo3246]

FANTASTICO
Adesso ho finalmente capito; sisi mi trovo benissimo sull'ultimo punto. Grazie davvero mille per la pazienza e complimenti per le tue conoscenze