Dubbio su prodotto vettoriale di due vettori nel pian

[Valery Beauchamp]

Ragazzi sto facendo un esercizio in un riferimento non cartesiano e mi si chiede di scrivere l'equazione di una retta passante per un punto e parallela ad una retta data.
Facendo riferimento ad un esercizio simile svolto dal prof in cui si richiedeva la retta ortogonale e non parallela, mi sono trovata di fronte ad un dubbio atroce sul prodotto vettoriale.

In parole povere ho il vettore parallelo alla retta che è $v=i+3j$ e il vettore parallelo alla generica retta è $w=-bi+aj$ e quindi per ricavare i coefficienti della generica retta passante per un punto (a e b) che soddisfi il parallelismo devo fare il prodotto vettoriale tra v e w e porlo uguale a zero, concettualmente tutto ok.

Ma praticamente come si svolge nel piano? Nello spazio io basta che calcolo il determinante della matrice in cui ho:
-sulla prima riga i versori i,j,k
-sulla seconda le componenti del primo vettore
-sulla terza le componenti del secondo vettore
ma in questo caso è diverso il calcolo? grazie a chi risponderà

[Bokonon]

Valery, una retta è del tipo $ hat(r)=hat(a)+that(b) $
Per esempio $ hat(r)= ( ( 1 ),( 1 ),( 1 ) ) + t( ( 0 ),(- 1 ),( 2 ) )$

....o forse intendevi ho il vettore, parallelo ad una retta, $v=i+3j$
...giuro che fatico davvero a capire la lingua italiana moderna

[killing_buddha]

Il "prodotto cross" nel piano è una operazione unaria: si tratta della mappa $k^2 \to k^2$ che manda $(a,b)$ in \((-b,a)\). Chiaramente questo ultimo vettore determina una direzione ortogonale a quella di $(a,b)$ (vedi 1.13.2 qui).

[Valery Beauchamp]

"Bokonon":

....o forse intendevi ho il vettore, parallelo ad una retta, $v=i+3j$

Si allora, pensavo di averlo scritto comunque, ho un riferimento che ho dovuto impostare io dove le lunghezze di i e j sono $2$ e $sqrt(2)$ e l'angolo tra i due è $\3/4pi$, poi mi dà una retta r) $3x-y-3=0$ (e quindi il vettore parallelo è $v=i+3j$) e infine mi dà un punto di coordinate ($\pi-1$,$\pi+1$) e mi si chiede di ricavare la retta passante per questo punto che sia parallela ad r.

Praticamente l'esercizio precedente a questo era uguale solo che chiedeva una retta ortogonale ad r e passante per (1,0) e il prof ha fatto questo ragionamento:
-prende il vettore parallelo alla retta r
-scrive la generica retta del tipo $a(x-1)+b(y-0)=0$ e prende il vettore parallelo del tipo $w=-bi+aj$
-per ricavare i coefficienti a e b ragiona in questo modo, per essere ortogonali le due rette, il prodotto scalare dei vettori v e w deve essere nullo quindi calcola il prodotto scalare, quanto valgono i prodotti dei tra i e j, sostituisce e si ricava a e b.

Volevo fare lo stesso ragionamento nel mio caso, quindi ho considerato i vettori paralleli e so che, per essere paralleli, il prodotto vettoriale è nullo, ho sbagliato a ragionare così? mi sembrava la cosa più semplice in teoria.

[anto_zoolander]

"killing_buddha":Il "prodotto cross" nel piano è una operazione unaria: si tratta della mappa $k^2 \to k^2$ che manda $(a,b)$ in \((-b,a)\). Chiaramente questo ultimo vettore determina una direzione ortogonale a quella di $(a,b)$ (vedi 1.13.2 qui).

l'anno scorso alla fine del corso di geometria uno mi divertii a dimostrare(più o meno) che per ogni spazio vettoriale $V$ di dimensione finite esiste il prodotto vettoriale $wedge:prod_(k=1)^(n-1)V->V$ che poi sostanzialmente è definito allo stesso identico modo, con lo pseudo determinante con la prima riga dei versori ortonormali.

mi chiedo perchè non si insegni.

[Bokonon]

"Valery Beauchamp":
Si allora, pensavo di averlo scritto comunque, ho un riferimento che ho dovuto impostare io dove le lunghezze di i e j sono $2$ e $sqrt(2)$ e l'angolo tra i due è $\3/4pi$,

Io ci provo a tradurti...ma devi venirmi incontro.
Ciò che hai appena scritto è che ti sei inventata un sistema riferimento in $R^2$ (l'ho dedotto dal resto del post che è $R^2$) di questo tipo:

"Valery Beauchamp":
poi mi dà una retta r) $3x-y-3=0$ (e quindi il vettore parallelo è $v=i+3j$) e infine mi dà un punto di coordinate ($\pi-1$,$\pi+1$) e mi si chiede di ricavare la retta passante per questo punto che sia parallela ad r.

Praticamente l'esercizio precedente a questo era uguale solo che chiedeva una retta ortogonale ad r e passante per (1,0)

Ma poi ignori il tuo riferimento del tutto e torni alla base canonica, trovi il vettore di direzione della retta r,
$ v=( ( 1 ),( 3 )) $
e chiedi come trovare la retta s, perpendicolare a r, passante per (1,0).
Siamo in $R^2$ quindi potevi direttamente riscrivere la retta come $y=3x-3$ e prendere il coefficiente angolare 3 (stessa cosa che dividere le due componenti j/i del tuo vettore).
La retta perpendicolare avrà coefficiente angolare $-1/m$ ovvero $-1/3$ e dovrà passare per (1,0).
$y=-1/3x+1/3$

Ma non è che dovevi trovare la soluzione nel tuo sistema di riferimento?

[Valery Beauchamp]

Per tagliare la testa al toro ti faccio vedere l'esercizio 44 che è svolto e il resto del 45 che sto tentando di fare!

"Bokonon":


Ma non è che dovevi trovare la soluzione nel tuo sistema di riferimento?

[/quote]

Si ma se vedi in fondo alla prima foto ne tiene conto del riferimento perchè calcola anche i prodotti i*i , j*j e i*j

[Bokonon]

Ok, quindi la retta è espressa rispetto al sistema di riferimento che hai scelto....

Vabbè se devi solo trovare la retta parallela $y=3x+4-2pi$ fai vedere i passaggi

[Valery Beauchamp]

Mi trovo tutto tranne che il segno di 4, me lo trovo negativo...

Non so se ho fatto bene xchè era questo il vero punto della questione, dopo aver letto il pdf postato da Killing Buddha, e non so se ho capito bene, ho fatto in questo modo.

Ho calcolato il determinante della seguente matrice:

$((-bi,aj),(-i,-3j))$

svolgendo il determinante mi ricavo $a=-3$ e $b=1$, ho sostituito in $a(x-$ $\pi$ $-1)+b(y-$ $\pi$ $+1)=0$

e mi trovo: $3x-y-4-$ $\2pi$ $=0$

[Bokonon]

"Valery Beauchamp":Mi trovo tutto tranne che il segno di 4, me lo trovo negativo...

Non so se ho fatto bene xchè era questo il vero punto della questione, dopo aver letto il pdf postato da Killing Buddha, e non so se ho capito bene, ho fatto in questo modo.

Ho calcolato il determinante della seguente matrice:

$((-bi,aj),(-i,-3j))$

svolgendo il determinante mi ricavo $a=-3$ e $b=1$, ho sostituito in $a(x-$ $\pi$ $-1)+b(y-$ $\pi$ $+1)=0$

e mi trovo: $3x-y-4-$ $\pi$ $=0$

Valery, è molto semplice. Immagina di avere un vettore direzione (a,b), la pendenza del vettore è semplicemente b/a.
Il vettore perpendicolare ad esso invece è (b, -a), tutto qua. Ricorda che stiamo parlando specificatamente di $R^2$.
Inoltre in questo esercizio non serve nemmeno trovare una direzione perpendicolare...chiede la retta parallela.
Poi casomai facciamo anche la perpendicolare...

[dissonance]

"anto_zoolander":[quote="killing_buddha"]Il "prodotto cross" nel piano è una operazione unaria: si tratta della mappa $k^2 \to k^2$ che manda $(a,b)$ in \((-b,a)\). Chiaramente questo ultimo vettore determina una direzione ortogonale a quella di $(a,b)$ (vedi 1.13.2 qui).

l'anno scorso alla fine del corso di geometria uno mi divertii a dimostrare(più o meno) che per ogni spazio vettoriale $V$ di dimensione finite esiste il prodotto vettoriale $wedge:prod_(k=1)^(n-1)V->V$ che poi sostanzialmente è definito allo stesso identico modo, con lo pseudo determinante con la prima riga dei versori ortonormali.

mi chiedo perchè non si insegni.

[/quote]
[ot]Ormai è chiaro che "non si insegna" non vuol dire nulla, potrebbe essere che il mago di John Baez ha ordinato di tacere, oppure che si tratta di una cosa inutile. A mio avviso, in questo caso si tratta di una cosa inutile; anche io ci penso di tanto in tanto. Ecco qua una mia domanda di 9 anni fa:
perche-il-prodotto-vettore-si-fa-solo-in-r-3-t41898.html#p309819
con eccellenti risposte di ViciousGoblin e di altri pesi massimi del forum.

Recentemente mi sono dato una risposta alternativa in questi termini, un po' avanzati, e non è affatto il mio campo quindi potrebbe facilmente essere una vaccata:

https://negropeppe.wordpress.com/2018/0 ... ful-in-r3/[/ot]