Proprietà commutativa fra matrici quadrate
Salve ragazzi, volevo domandarvi delle cose:
Sia $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ e $B \in M_{n,k} (\mathbb{R})$ il prodotto è definito come:
$A xx C \in M_{m,k} (\mathbb{R})$ e ovviamente si può dimostrare facilmente che il prodotto non è commutativo poichè non vedrei rispettata la regola del prodotto della riga per colonna. Questo è quello che abbiamo fatto in classe, ma quello che mi chiedo è se invece le matrici $A$ e $C$ hanno lo stesso numero di righe e di colonne, ovvero se sono quadrate, rispetterebbero la regola del prodotto indubbiamente, però il risultato del prodotto in alcuni casi cambia:
$AB =$ $((1,2),(2,4))((-1,2),(1,1)) = ((2,5),(2,8))$ mentre invece
$BA = ((-1,2),(1,1))((1,2),(2,4)) = ((3,*),(*,*))$
Vi vorrei chiedere allora come si può vedere se il prodotto è commutativo o meno?
(Mi si potrebbe dire "apri il libro" e studia!)
però la prof ha spiegato solo le matrici che non commutano perchè aventi colonne e righe diverse ed io mi sono imbattuto in questo esempio...mi potete dare un dritta? Prima di studiare la teoria vorrei arrivarci empiricamente! 
Sia $A \in M_{m,n}(\mathbb{R})$ e $B \in M_{n,k} (\mathbb{R})$ il prodotto è definito come:
$A xx C \in M_{m,k} (\mathbb{R})$ e ovviamente si può dimostrare facilmente che il prodotto non è commutativo poichè non vedrei rispettata la regola del prodotto della riga per colonna. Questo è quello che abbiamo fatto in classe, ma quello che mi chiedo è se invece le matrici $A$ e $C$ hanno lo stesso numero di righe e di colonne, ovvero se sono quadrate, rispetterebbero la regola del prodotto indubbiamente, però il risultato del prodotto in alcuni casi cambia:
$AB =$ $((1,2),(2,4))((-1,2),(1,1)) = ((2,5),(2,8))$ mentre invece
$BA = ((-1,2),(1,1))((1,2),(2,4)) = ((3,*),(*,*))$
Vi vorrei chiedere allora come si può vedere se il prodotto è commutativo o meno?
(Mi si potrebbe dire "apri il libro" e studia!)
però la prof ha spiegato solo le matrici che non commutano perchè aventi colonne e righe diverse ed io mi sono imbattuto in questo esempio...mi potete dare un dritta? Prima di studiare la teoria vorrei arrivarci empiricamente!
Risposte
Infatti la proprietà commutativa per il prodotto in generale non vale per matrici quadrate di ordine \(\displaystyle n \).
E' sufficiente un controesempio per invalidare un'ipotesi. Tu l'hai trovato, e dovresti essere soddisfatto.
E poi comunque se pensi il tutto in termini di applicazioni lineari (o, più in generale, di funzioni), dovresti ottenere ulteriore conferma: date due qualsiasi applicazioni \(\displaystyle \phi \) e \(\displaystyle \psi \), si può dire che \(\displaystyle \phi \circ \psi=\psi \circ \phi \)? Ovviamente, a meno di casi particolari, no.
E' sufficiente un controesempio per invalidare un'ipotesi. Tu l'hai trovato, e dovresti essere soddisfatto.
E poi comunque se pensi il tutto in termini di applicazioni lineari (o, più in generale, di funzioni), dovresti ottenere ulteriore conferma: date due qualsiasi applicazioni \(\displaystyle \phi \) e \(\displaystyle \psi \), si può dire che \(\displaystyle \phi \circ \psi=\psi \circ \phi \)? Ovviamente, a meno di casi particolari, no.
Grazie delirium, e non esiste un metodo per vedere se in un caso particolare il prodotto è commutativo o meno? 
Sarebbe molto utile anche conoscere esclusivamente il nome del teorema, la definizione...
Sarebbe molto utile anche conoscere esclusivamente il nome del teorema, la definizione...
Beh, se le due matrici quadrate sono simmetriche, allora commutano.
"Quinzio":
Beh, se le due matrici quadrate sono simmetriche, allora commutano.
Grazie per la risposta Quintizio, ma per matrici simmetriche si intende?
Matrice simmetrica.
Bah, poi ci sono vari casi banali in cui vale la proprietà commutativa del prodotto, p.e. \(\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A \), oppure \(\displaystyle AI=IA \) (e qui faccio riferimento a matrici quadrate).
E' invece molto meno banale, e anche molto più interessante, questo fatto: il prodotto tra le due matrici ottenute dalla decomposizione di Jordan gode della proprietà commutativa. Per decomposizione di Jordan intendo la scrittura di una matrice di Jordan come somma tra una matrice diagonale ed una nilpotente (con alcuni uno al di sopra della diagonale, in base al numero di blocchi).
Al momento non mi viene in mente altro.
Bah, poi ci sono vari casi banali in cui vale la proprietà commutativa del prodotto, p.e. \(\displaystyle AA^{-1}=A^{-1}A \), oppure \(\displaystyle AI=IA \) (e qui faccio riferimento a matrici quadrate).
E' invece molto meno banale, e anche molto più interessante, questo fatto: il prodotto tra le due matrici ottenute dalla decomposizione di Jordan gode della proprietà commutativa. Per decomposizione di Jordan intendo la scrittura di una matrice di Jordan come somma tra una matrice diagonale ed una nilpotente (con alcuni uno al di sopra della diagonale, in base al numero di blocchi).
Al momento non mi viene in mente altro.
"Quinzio":
Beh, se le due matrici quadrate sono simmetriche, allora commutano.
Sei sicuro, Quinzio? A me non pare. Per esempio le due matrici
\[\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\]
non commutano.
"davidedesantis":
Grazie delirium, e non esiste un metodo per vedere se in un caso particolare il prodotto è commutativo o meno?
Sarebbe molto utile anche conoscere esclusivamente il nome del teorema, la definizione...
C'è tutta una grossa interpretazione fisica della proprietà di due matrici di commutare. In meccanica quantistica due matrici simmetriche commutano precisamente quando rappresentano grandezze tra loro compatibili. C'è sotto il famoso principio di indeterminazione di Heisenberg. Invece in matematica il concetto di matrici commutanti emerge nel quadro della rappresentazione di gruppi: si parla in quel caso di intertwining matrices.
Sono tutte cose piuttosto complicate, se vuoi la mia opinione. Una interpretazione intuitiva facile della proprietà di due matrici di commutare non c'è (a.f.a.I.k.).
Ciao, due matrici commutano se e solo se possiedono un set comune di autovettori lin indip. Ossia se hanno un autobase in comune
Non è vero, due matrici DIAGONALIZZABILI commutano se e solo se hanno una base comune di autovettori.
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