Piano ortogonale ad un piano
"Fissato nello spazio un riferimento affine ortogonale e monometrico, si consideri il fascio proprio F(r) di asse la retta
$ { ( x=1-t ),( y=2+t ),( z=1-t ):} $ ed il piano $ pi : x-y-2z+3=0 $.
(i) Se possibile, determinare un piano $ alpha € F(r) $ tale che $ alpha $ risulti ortogonale a $ pi $, e dire cosa rappresenta il luogo descritto dai punti di $ alpha nn pi $.
(ii) Se possibile, determinare un piano $ beta € F(r) $ tale che $ beta $ risulti parallelo a $ pi $, e la distanza tra $ beta $ e $ pi $."
In ordine:
(i) un vettore normale al piano $ pi $ è (1, 1, 0). La generica equazione di un piano $ alpha $ ortogonale a $ pi $ è $ x+y+k=0 $.
Il piano deve passare per la retta r, quindi prendo un punto che giace sulla retta, ad esempio P(1, 2, 1), e impongo il passaggio:
$ (1)+(2)+k=0 $
$ k = -3 $
L'equazione del piano è $ alpha: x+y-3 = 0 $.
Calcolo l'intersezione tra i due piani: $ { ( x-y-2z+3=0 ),( x+y-3=0 ):} rArr { ( x-(3-x)-2z+3=0 ),( y=3-x ):} rArr { ( x-z=0 ),( x+y-3=0 ):} $
Essa coincide con la rappresentazione cartesiana della retta r. Infatti:
$ { ( x=1-t ),( y=2+t ),( z=1-t ):}rArr { ( y=3-x ),( z=x ):}rArr { ( x+y-3=0 ),( x-z=0 ):} $
(ii) Poiché $ pi $ appartiene al fascio, non esiste un altro piano parallelo a $ pi $ che appartenga ad F(r) se non $ pi $ stesso.
$ { ( x=1-t ),( y=2+t ),( z=1-t ):} $ ed il piano $ pi : x-y-2z+3=0 $.
(i) Se possibile, determinare un piano $ alpha € F(r) $ tale che $ alpha $ risulti ortogonale a $ pi $, e dire cosa rappresenta il luogo descritto dai punti di $ alpha nn pi $.
(ii) Se possibile, determinare un piano $ beta € F(r) $ tale che $ beta $ risulti parallelo a $ pi $, e la distanza tra $ beta $ e $ pi $."
In ordine:
(i) un vettore normale al piano $ pi $ è (1, 1, 0). La generica equazione di un piano $ alpha $ ortogonale a $ pi $ è $ x+y+k=0 $.
Il piano deve passare per la retta r, quindi prendo un punto che giace sulla retta, ad esempio P(1, 2, 1), e impongo il passaggio:
$ (1)+(2)+k=0 $
$ k = -3 $
L'equazione del piano è $ alpha: x+y-3 = 0 $.
Calcolo l'intersezione tra i due piani: $ { ( x-y-2z+3=0 ),( x+y-3=0 ):} rArr { ( x-(3-x)-2z+3=0 ),( y=3-x ):} rArr { ( x-z=0 ),( x+y-3=0 ):} $
Essa coincide con la rappresentazione cartesiana della retta r. Infatti:
$ { ( x=1-t ),( y=2+t ),( z=1-t ):}rArr { ( y=3-x ),( z=x ):}rArr { ( x+y-3=0 ),( x-z=0 ):} $
(ii) Poiché $ pi $ appartiene al fascio, non esiste un altro piano parallelo a $ pi $ che appartenga ad F(r) se non $ pi $ stesso.
Risposte
"maxira":
(ii) Poiché $ pi $ appartiene al fascio, non esiste un altro piano parallelo a $ pi $ che appartenga ad F(r) se non $ pi $ stesso.
La prima parte è corretta.
Per il piano parallelo la procedura è la medesima dell'altro post e troverai $beta: x-y-2z+3=0$ a conferma di ciò che hai scritto.
P.S. E' il primo esercizio in cui hai fatto tutto giusto!
"Bokonon":
P.S. E' il primo esercizio in cui hai fatto tutto giusto!
Guastando s'impara
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