Calcolo autovalori e autovettori di una matrice 3x3

[desiree91]

calcolo autovalori e autovettori della matrice $((0,1,-1),(1,0,-1),(-1,-1,2))$

ho calcolato il polinomio per trovare i corrispondenti autovalori e mi uscivano tre radici tra cui una nulla. è possibile?
Inoltre, nel calcolo degli autovettori questi mi uscivano nulli! qualcuno può aiutarmi?

[Bokonon]

"desiree9":calcolo autovalori e autovettori della matrice $((0,1,-1),(1,0,-1),(-1,-1,2))$

ho calcolato il polinomio per trovare i corrispondenti autovalori e mi uscivano tre radici tra cui una nulla. è possibile?
Inoltre, nel calcolo degli autovettori questi mi uscivano nulli! qualcuno può aiutarmi?

E' una matrice simmetrica, quindi devi attenderti tre autovalori reali.
Il determinante è zero, quindi poichè il prodotto dei tre autovalori è pari al determinante della matrice, uno DEVE essere zero.
La traccia della matrice, ovvero la somma degli elementi sulla diagonale è pari a 2, quindi la somma dei 3 autovalori sarà anch'essa pari a 2.
Anche prima di iniziare i calcoli, si possono trarre un sacco di informazioni!

Buon lavoro!

[Magma1]

Si consideri la funzione

$f_lambda : qquad RR^n -> RR^n$
$f_lambda(v)=lambdav, qquad AA v ne0 in RR^n, lambda in RR$

Noti gli autovalori, la ricerca degli autovettori relativi all'autovalore $lambda$ equivale alla ricerca di una base del $ker(f_lambda)$:

$ker(f_lambda):={v in RR^n : qquad f(v)=lambdav}$

$={v in RR^n : qquad f(v)-lambdav=0}$

considerando la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla base canonica $mathcalE$: $A:=M_(mathcal(E E))(f)$, la ricerca di una base del $ker(f_lambda)$ equivale alla risoluzione di un sistema lineare omogeneo:

$={v in RR^n : qquad Av-lambdav=0}$

$={v in RR^n : qquad (A-lambdaI)v=0}$

P.S. ovviamente non è ammessa la soluzione banale $v=0$
P.P.S. questa vale come risposta anche per l'altro topic

[desiree91]

"arnett":Posta i tuoi conti.
Che un autovalore sia nullo è possibile: vuole dire che il nucleo di questa matrice non è banale. (E in effetti questa matrice ha un autovalore nullo)
Che un autovettore sia nullo è impossibile.

i 3 autovalori corrispondenti sono: 0, 3, -1
l'autovettore per l'autovalore=0 mi usciva nullo perchè risolvendo il sistema di tre equazioni, che si ottiene andando a sostituire il valore dell'autovalore nella matrice utilizzata per il calcolo del determinante, i valori delle tre incognite x,y,z mi sono usciti nulli. forse sbaglio proprio qui nel risolvere il sistema..

[Magma1]

Per $lambda=0$

$\mathcalS : qquad ((0,1,-1),(1,0,-1),(-1,-1,2))((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $

si vede subito che la terza riga è C.L. delle prime due: $R_3=-R_1-R_2$; quindi il sistema diviene:

$mathcalS' : qquad ((0,1,-1),(1,0,-1),(0,0,0))((x),(y),(z))=((0),(0),(0)) $

$hArr { ( y=z ),( x=z ),( z in RR ):} $

ovvero

$mathcalS=mathcalS'=mathcalL{((1),(1),(1))}$

[desiree91]

grazie mille!