Somma diretta
"Al variare di h € R sono dati i sottospazi dello spazio vettoriale numerico R4:
U(h) = L[(0; 1-h;-2;-h); (1;-1; 0;-1); (h;-1;-2; 0)]
Stabilire per quali valori di h la somma U(h) + L[(2;-3;-4;-1)] non è diretta e individuare una base del sottospazio $ U(1) nn U(1) $"
Potete correggere il mio svolgimento di questo esercizio?
$ ( ( 0 , 1 , h , 2 ),( 1-h , -1 , -1 , -3 ),( -2 , 0 , -2 , -4 ),( -h , -1 , 0 , -1 ) ) $
La somma non è diretta se il determinante è uguale a 0. Riduco a scala:
$ ( ( -2 , 0 , -2 , -4 ),( 0 , 1 , h , 2 ),( 0 , 0 , -2 , -4 ),( 0 , 0 , 0 , 1-3h ) ) $
det(A)=-12h+4
-12h+4 = 0
Per h = 1/3 la somma non è diretta.
Poi trovo U(1) e U(-1) e i vettori che appartengono all'intersezione $ (1,-1,0,-1), (2,-3,-4,-1) $
Essendo tra loro indipendenti, questi costituiscono una base per l'intersezione.
U(h) = L[(0; 1-h;-2;-h); (1;-1; 0;-1); (h;-1;-2; 0)]
Stabilire per quali valori di h la somma U(h) + L[(2;-3;-4;-1)] non è diretta e individuare una base del sottospazio $ U(1) nn U(1) $"
Potete correggere il mio svolgimento di questo esercizio?
$ ( ( 0 , 1 , h , 2 ),( 1-h , -1 , -1 , -3 ),( -2 , 0 , -2 , -4 ),( -h , -1 , 0 , -1 ) ) $
La somma non è diretta se il determinante è uguale a 0. Riduco a scala:
$ ( ( -2 , 0 , -2 , -4 ),( 0 , 1 , h , 2 ),( 0 , 0 , -2 , -4 ),( 0 , 0 , 0 , 1-3h ) ) $
det(A)=-12h+4
-12h+4 = 0
Per h = 1/3 la somma non è diretta.
Poi trovo U(1) e U(-1) e i vettori che appartengono all'intersezione $ (1,-1,0,-1), (2,-3,-4,-1) $
Essendo tra loro indipendenti, questi costituiscono una base per l'intersezione.
Risposte
up
"maxira":
Riduco a scala:
$ ( ( -2 , 0 , -2 , -4 ),( 0 , 1 , h , 2 ),( 0 , 0 , -2 , -4 ),( 0 , 0 , 0 , 1-3h ) ) $
det(A)=-12h+4
-12h+4 = 0
Per h = 1/3 la somma non è diretta.
Stai facendo una cosa orribile. Per determinare i valori di h per cui la matrice ha rango massimo puoi:
A) ridurla a gradini e trovare i valori di h per cui i pivot non sono nulli
B) calcolare il determinante della matrice e porlo uguale a zero
L'opzione C per cui riduci la matrice a gradini e trovi il suo determinante non ha senso. Perchè non sarà uguale al determinante della matrice originale (a meno di un colpo di culo).
Rifai l'esercizio in entrambi i modi e troverai che la somma non è diretta se h=2
"maxira":
Poi trovo U(1) e U(-1) e i vettori che appartengono all'intersezione $ (1,-1,0,-1), (2,-3,-4,-1) $
Essendo tra loro indipendenti, questi costituiscono una base per l'intersezione.
A me risulta che l'intersezione sia una retta di $R^4$ con base $ (1,-1,0,-1)$
"Bokonon":
Rifai l'esercizio in entrambi i modi e troverai che la somma non è diretta se h=2
L'ho fatto, ma ottengo h = 1/2 in entrambi i casi :/
1) $ ( ( 0 , 1 , h , 2 ),( 1-h , -1 , -1 , -3 ),( -2 , 0 , -2 , -4 ),( -h , -1 , 0 , -1 ) ) $
$ ( ( -h , -1 , 0 , -1 ),( 1-h , -1 , -1 , -3 ),( -2 , 0 , -2 , -4 ),( 0 , 1 , h , 2 ) ) $
$ ( ( -h-1 , -1 , 0 , -1 ),( -h , -1 , -1 , -3 ),( -2 , 0 , -2 , -4 ),( -1 , 1 , h , 2 ) ) $
$ ( ( -1 , -1 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , -1 , -3 ),( 0 , 0 , -4 , -8 ),( 0 , 1+h , h , 2+h ) ) $
$ ( ( -1 , -1 , 0 , -1 ),( 0 , -1 , -1 , -3 ),( 0 , 0 , -4 , -8 ),( 0 , 0 , 0 , -2h+1 ) ) $
$ det(A) = (-1)(-1)(-4)(-2h+1) = 8h-4 $
$ 8h-4 = 0 $
$ h = 1/2 $
2) $ (-1+h)| ( 1 , h , 2 ),( 0 , -2 , -4 ),( -1 , 0 , -1 ) | -2| ( 1 , h , 2 ),( -1 , -1 , -3 ),( -1 , 0 , -1 ) |+h| ( 1 , h , 2 ),( -1 , -1 , -3 ),( 0 , -2 , -4 ) | $
$ (-1+h)(2+4h-4)-2(1+3h-h-2)+h(4+4-4h-6) $
$ (-1+h)(4h-2)-2(-1+2h)+h(2-4h) $
$ -4h+2+4h^2-2h+2-4h+2h-4h^2 $
$ -8h+4=0 $
$ h=1/2 $
"Bokonon":
A me risulta che l'intersezione sia una retta di $ R^4 $ con base $ (1,-1,0,-1) $
Puoi dirmi cosa ho sbagliato?
"maxira":
2) $ (-1+h)| ( 1 , h , 2 ),( 0 , -2 , -4 ),( -1 , 0 , -1 ) | -2| ( 1 , h , 2 ),( -1 , -1 , -3 ),( -1 , 0 , -1 ) |+h| ( 1 , h , 2 ),( -1 , -1 , -3 ),( 0 , -2 , -4 ) | $
Cominciamo da qua. Hai fatto un determinante della trasposta per le trasposte dei minori...ci credo che poi ti perdi con i segni e con tutto.
Perchè non lo fai normalmente? Così rischi solo di sbagliare.
$ | ( 0 , 1 , h , 2 ),( 1-h , -1 , -1 , -3 ),( -2 , 0 , -2 , -4 ),( -h , -1 , 0 , -1 ) |=-1| ( 1-h , -1 , -3 ),( -2 , -2 , -4 ),( -h , 0 , -1 ) | +h| ( 1-h , -1 , -3 ),( -2 , 0 , -4 ),( -h , -1 , -1 ) | -2 | ( 1-h , -1 , -1 ),( -2 , 0 , -2 ),( -h , -1 , 0 ) |=0$
$-4-2h+8=0$
$h=2$
Ricontrolla i miei conti e dimmi se ti torna.
"maxira":
Puoi dirmi cosa ho sbagliato?
Non saprei, hai scritto solo la soluzione.
Ci sono due basi rispettivamente di U(1) ed U(-1) (due iperpiani di $R^4$) che hanno in comune un vettore (quindi una retta). I rimanenti quattro vettori sono linearmente indipendenti, quindi le due coppie creano due piani in $R^4$ che condividono solo l'origine. Quindi i due sottospazi U(1) e U(-1) si intersecano e hanno in comune una retta. Ti torna?
"Bokonon":
Cominciamo da qua. Hai fatto un determinante della trasposta per le trasposte dei minori...ci credo che poi ti perdi con i segni e con tutto.
Perchè non lo fai normalmente? Così rischi solo di sbagliare.
Scusami, non sapevo che calcolare il determinante rispetto ad una colonna cambiasse il risultato.
L'ho ricalcolato rispetto alla prima riga e il risultato è identico al tuo, tranne per $ -2h $ (a me esce $ -8h $ ).
Ti ho scritto tutti i passaggi così puoi capire cosa sbaglio nei calcoli senza rendermene conto.
$ | ( 0 , 1 , h , 2 ),( 1-h , -1 , -1 , -3 ),( -2 , 0 , -2 , -4 ),( -h , -1 , 0 , -1 ) |=-1| ( 1-h , -1 , -3 ),( -2 , -2 , -4 ),( -h , 0 , -1 ) | +h| ( 1-h , -1 , -3 ),( -2 , 0 , -4 ),( -h , -1 , -1 ) | -2 | ( 1-h , -1 , -1 ),( -2 , 0 , -2 ),( -h , -1 , 0 ) |=0 $
$ -1(2-2h-4h+2+6h)+h(-4h-6+2-4+4h)-2(-2h-2-2+2h) = 0 $
$ -1(4)+h(-8)-2(-4)=0 $
$ -4-8h+8=0 $
$ h=1/2 $
"Bokonon":
Ci sono due basi rispettivamente di U(1) ed U(-1) (due iperpiani di $ R^4 $) che hanno in comune un vettore (quindi una retta). I rimanenti quattro vettori sono linearmente indipendenti, quindi le due coppie creano due piani in $ R^4 $ che condividono solo l'origine. Quindi i due sottospazi U(1) e U(-1) si intersecano e hanno in comune una retta. Ti torna?
Ora mi trovo. Ho sbagliato perché ho dimenticato di non considerare il vettore (2,−3,−4,−1), che non fa parte di U(h).
"maxira":
Scusami, non sapevo che calcolare il determinante rispetto ad una colonna cambiasse il risultato.
L'ho ricalcolato rispetto alla prima riga e il risultato è identico al tuo, tranne per $ -2h $ (a me esce $ -8h $ ).
Ti ho scritto tutti i passaggi così puoi capire cosa sbaglio nei calcoli senza rendermene conto.
Non dovrebbe infatti....e non l'ha fatto.
Avevo sbagliato io all'inizio e pigramente non ho ricalcolato.
Mi ero perso per strada un -6

