Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, sonouno studente universitario alle prese con lo studio dell'algebra lineare.
Sto "studiando" la dualità, tra virgolette perchè non riesco proprio a capirla, non risco proprio ad arrivarci concettualmente e diciamo ad "immaginarmi" uno spazio duale per esempio. Studio molto la teoria di questo capitolo ma mi trovo sempre arreso. Qualcuno è in grado di spiegarmi in parole semplici il concetto alla base della dualità?
Vi ringrazio
Buona sera a tutti. Volevo chiedervi qualche parere su questo esercizio
Dato $n in NN$, si consideri il sottospazio $C_n$ di $RR^2$ definito da
$C_n={(x,y)in RR^2 | (x-1/n)^2+y^2=1/n^2}$
e si ponga $X=uuu_(n in NN) C_n$
a) Stabilire se $X$ è compatto e stabilire se $X$ è connesso
b) posto $Y=X-{(0,0)}$ stabilire se $Y$ è connesso per archi
a)$X$ è compatto perchè unione di insiemi chiusi e limitati (dal teorema di Heine-Borel è ...
Salve, ho un problema geometrico su cui non riesco a venirne a capo.
ho l'equazione di due circonferenze concentriche con distanza d tra di loro. Partendo da un punto A sulla circonferenza esterna percorro un arco di circonferenza fino al punto B su quella interna. Ciò che vorrei sapere è la distanza tra questi due punti e l'angolo sotteso dall'arco.
Allego una bozza per far capire cosa intendo.
Grazie anche per eventuali indicazioni
Ciao a tutti,
devo svolgere un esercizio che richiede di dimostrare che ogni sottospazio chiuso di uno spazio normale è anch'esso normale.
Ora avendo un pò di difficoltà ad iniziare vorrei capire perchè specifica che deve essere chiuso ( magari in questo modo capisco come dimostrarlo..).
Buonasera a tutti,
chiedo aiuto nella risoluzione di un esercizio su basi e sottospazi vettoriali. Nello specifico, assegnato il seguente sottospazio vettoriale:
$U = { (x, y, z, t) ∈ R^4: x − 5y = 0, z − 3t = 0 }$
mi viene richiesto di:
- Calcolare una base $B$ e la dimensione del sottospazio $U$;
- Determinare se $exists$ due basi $B_1$ e $B_2$ di $R^4$ contenenti $B$;
- Determinare se $exists$ un sottospazio ...
Ciao a tutti,
Non riesco a capire il seguente teorema, che riguarda gli iperspazi vettoriali:
"Sia B una base di uno spazio vettoriale V di dimensione n e siano ( x1.....xn) le componenti di un qualsiasi vettore x di V rispetto alla base B.
1. Tutte e sole le equazioni lineari omogenee in ( x1...xn) rappresentano, rispetto alla base B, gli iperpiani vettoriali di V.
2. Ogni sottospazio vettoriale W di V di dimensione k è rappresentabile, rispetto alla base B, mediante un sistema lineare ...
Buongiorno a tutti. C'e' qualche anima pia che mi svolge questo esercizio ? il link dell'immagine è: https://ibb.co/ee7GfA
Ciao a tutti
Vi posto un testo di un compito
Per determinare la dimensione e la base di U devo scrivere la generica matrice M appartenente a U nella forma
$((a,b),(c,d))$
Come può essere scritta?
Devo fare il prodotto riga per colonna?
Ma l'esercizio è scritto in modo corretto???
Non capisco M(2,4)=0
Buona sera! Chiedo a voi un parere su questo esercizio
1) Sia $X$ uno spazio topologico e $ ~= $ una relazione d'equivalenza su $X$. Dimostrare che se il quoziente $ X//~= $ è uno spazio di Hausdorff, allora ogni classe d'equivalenza è un sottoinsieme chiuso di $X$.
2) Sia $X=RR$ e definiamo una relazione di equivalenza su $X$ come segue
$ x\~=y \Leftrightarrow { ( x=y\ oppure ),( |x|<1 \e\ |y|<1 ):} $
Dimostrare che lo spazio quoziente ...
Buona sera! Ho un esercizio che mi lascia alcuni dubbi
Sia $tau$ la famiglia di sottoinsiemi di $NN$ data da $O/$, $NN$ e ${1,...n}$ per ogni $n in NN$.
a)stabilire se $(NN,tau)$ è uno spazio topologico compatto e se è uno spazio topologico di Hausdorff;
b) dimostrare che se $(X,tau_X)$ è uno spazio topologico di Hausdorff, allora ogni funzione continua $f:(NN,tau) rarr (X,tau_X)$ è necessariamente costante
a) Per la ...
Ciao ragazzi
Vi posto una foto inviatami dà un mio amico
Allora il dubbio è sul punto c) è il punto d)
Per gli altri punti a), b), e) , f) non ho nessun problema anche perché a lui viene lo stesso risultato.... l'unica cosa in cui non siamo d'accordo sono questi due punti.
A me vengono
Per c) la matrice
$((9,8,-5),(3,2,-1))$
Vi faccio vedere come ne ho fatto uno
$((1),(1),(1))$ = $((1,6,1),(0,1,1))$ = $((9),(3))$
Così per gli altri
Per d) la matrice ...
Ho dei problemi a dimostrare se una funzione è suriettiva.
Ho $f:RR => RR;f(x)=3x+2$
So che la definizione di suriettiva è:
$AA b in B, EE a in A : f(a)=b $
"Data la matrice $ A= ( ( k , 0 , 1 , 2 ),( -1 , -2k , k , 3 ),( -2 , 0 , -1 , 2 ) ) $:
(i) discutere sulla dimensione del sottospazio H generato dalle righe di A;
(ii) posto k = 2, si determini una base di H e la si completi ad una base di R4.
(iii) "
Come posso svolgerlo? Va bene se considero un minore della matrice e mi regolo sul determinante di quel minore?
Ad esempio:
(i) $ M= ( ( k , 0 , 1 ),( -1 , -2k , k ),( -2 , 0 , -1 ) ) $
$det(M) = 2k^2-4k$
Quando il determinante è diverso da 0, quindi per $ k!=0, k!=2 $ la dimensione del sottospazio è 3.
Quando ...
Ciao ragazzi/e
Vi propongo 2 esercizi con un unico testo (dato dal prof.... lui ci ha detto che sono due sottospazi W e U diversi .... hanno solo il testo uguale...così ci ha detto e così vi scrivo)
Tutto questo perché si è accorto di aver sbagliato a scrivere il compito....ma visto che c'era li considerava tutti e due.....
Determinante la dimensione e la base per il sottospazio definito dalla seguente condizione:
1) $x-y-6z+7t=0$
2) $W={(x,y,z,t):2x-y=y+2z=0}$
Soluzioni ...
Buongiorno,
sul libro di testo (ISBN-10: 8874889763, ISBN-13: 978-8874889761) sono arrivato a questo esempio (ho acquistato il libro su Google Play quindi ho fatto uno screenshot):
Potreste spiegarmi perché ẽ1 e ẽ2 coinciderebbero rispettivamente con (0,-1) e (1,1)? (Testo sottolineato in verde)
Per quale motivo quando esegue la trasformazione, usa i trasformati di T(1,1) e T(-1,0), cioè (2,-1,0) e (0,4,-2) e non gli elementi di una base naturale di B'? (Testo sottolineato ...
"(i) Si stabilisca se nello spazio vettoriale M2(R) delle matrici 2x2 su R il sottoinsieme:
$ {A€M_2(R): A(A)^(t)=( ( -1 , 0 ),( 1 , 0 ) ) }uu{( ( 0 , 0 ),( 0 , 0 ) ) } $
è o meno un sottospazio.
(ii) Sempre nello spazio vettoriale M2(R), si determini una base B per il sottospazio:
$ H=L[( ( 1 , 2 ),( -2 , 1 ) )( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) ( ( 2 , 0 ),( 1 , 3 ) ) ( ( 0 , -1 ),( 3 , 0 ) ) ( ( 2 , 1 ),( -2 , 3 ) ) ] $
si stabilisca se il vettore $ ( ( 4 , 1 ),( -1 , 6 ) ) $ appartiene o meno ad H e, in caso affermativo, se ne determinino le componenti rispetto alla base B."
Sul primo punto ho dei dubbi.
(i) La matrice nulla appartiene al sottoinsieme.
Prese due matrici A ...
"Date le due rette $ r:{ ( 2x=-s-5 ),( y=2 ),( z=s ):} $ e $ s:{ ( x=2+t ),( y=-2t ),( z=1-t ):} $, se non complanari, trovare la comune perpendicolare."
Trasformo in forma cartesiana entrambe le rette:
$ r:{ ( y-2=0 ),( 2x+3y+z-1=0 ):} $
$ s:{ ( x+z-3=0 ),( y-2z+2=0 ):} $
La matrice incompleta è $ ( ( 0 , 1 , 0 ),( 2 , 3 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ),(0,1,-2) ) $ e ha rango 3.
La matrice completa è $ ( ( 0 , 1 , 0 , 2),( 2 , 3 , 1 , 1),( 1 , 0 , 1 , 3),(0,1,-2, -2) ) $ e ha rango 4.
Le rette sono sghembe, quindi non complanari.
Prendo il punto $ P ((-s-5)/2,2, s) $ per r e il punto $ Q (2+t,-2t,1-t) $ per s.
u è il vettore differenza tra i punti P e Q:
...
"Sia F(r) il fascio proprio di piani di asse la retta r : $ { ( x-y+3=0 ),( 2x+y+z=0 ):} $
e sia F(s) il fascio proprio di piani di asse la retta s : $ { ( x=1+t ),( y=-1+t ),( z=-3t ):} $
Se possibile, determinare un piano $ pi $ appartenente a $ F(r)nn F(s) $ e la distanza tra $ pi $ ed il piano $ alpha :{ ( x=-2t-5s ),( y=3t ),( z=1+9s ):} $"
Il vettore direzionale di r è (1, 1, -3).
Trovo il vettore direzionale di s calcolando il prodotto vettoriale tra i vettori normali (1, -1, 0) e (2, 1, 1).
Ottengo (-1, -1, 3), che è ...
"Fissato nello spazio un riferimento affine ortogonale e monometrico, si consideri il fascio proprio F(r) di asse la retta
$ { ( x=1-t ),( y=2+t ),( z=1-t ):} $ ed il piano $ pi : x-y-2z+3=0 $.
(i) Se possibile, determinare un piano $ alpha € F(r) $ tale che $ alpha $ risulti ortogonale a $ pi $, e dire cosa rappresenta il luogo descritto dai punti di $ alpha nn pi $.
(ii) Se possibile, determinare un piano $ beta € F(r) $ tale che $ beta $ risulti parallelo a $ pi $, ...
"Si consideri il fascio proprio F(r) di asse la retta $ { ( x=1+t ),( y=-1+t ),( z=3-2t ):} $ ed il piano $ pi =3x-5y-z-3=0 $.
Se possibile, determinare:
(i) un piano $ alpha $ appartenente ad F(r) tale che risulti parallelo a $ pi $;
(ii) la distanza tra i due piani;
(iii) dire cosa rappresenta il luogo descritto dai punti $ alpha nn pi $."
In ordine:
(i) La retta r in forma cartesiana è $ { ( x-y-2=0 ),( 2x+z-5=0 ):} $
Per stabilire la posizione reciproca tra la retta e il piano, guardo la matrice ...
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