Esercizio su funzione continua

sira2
Buona sera a tutti! Chiedo un parere su questo esercizio
Sia $X$ uno spazio topologico tale che ogni funzione $f:X rarr RR$ sia continua. Dimostrare che $X$ ha la topologia banale
Ho iniziato a ragionare per assurdo supponendo che se ad esempio $X$ fosse dotato di topologia banale, l'unico aperto sarebbe stato lui stesso, quindi si avrebbe una funzione costante. Ma facendo così non dimostro niente.
Quindi ho provato a fare quest'altro ragionamento:
se $U$ è un aperto di $X$ ed $ f_(|U) = { ( 1 \se x in U ),( 0 se x notin U ):} $
$f_(|U)^-1({1})$ è un chiuso di $X$ perchè il punto $1$ è chiuso in $RR$. Quindi $U$ è contemporaneamente aperto e chiuso $ rarr $ $X$ è dotato di topologia discreta

Risposte
sira2
Grazie per la risposta!
La notazione che uso io è la stessa!
Non vorrei dire una stupidaggine, ma l'unica cosa che mi viene in mente è la funzione
$ f^-1 (A)= { ( \O/ se x_0 notin A),( U se x_0 in A ):} $ , dove $ A $ è un aperto di $ RR $
Allora $ U $ è la controimmagine di un aperto di $ RR $. Ma $ U $ non è un aperto di $ tau rarr$ contraddizione

sira2
Potrebbe essere $(0, a) $ generico, con $ a> 1$ e $ a in RR $ ?

sira2
Grazie ancora!
Quindi da qui $ f^ - 1(A) $ è aperto, quindi $ U $ è aperto. Ma $ U $ non è un aperto di $ tau $ e da qui la contraddizione

sira2
Grazie mille!

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