Integrale curvilineo complesso

[CallistoBello]

Calcolare:
$ int_gamma sin(2z^2+3z+1)/(z-pi)dz $ dove $ gamma={z in C: |z-pi|=1} $

Ho riconosciuto che la curva è una circonferenza di Centro: $(pi,0)$ e raggio $r=1$
e che la funzione ammette 1 POLO di Ordine I in $z=pi$
(modo1)
Siccome ho 1 sola singolarità che si trova "all'interno" del Dominio D -->
ho utilizzato la [I FORMULA INTEGRALE DI CAUCHY]
ottenendo che: $ int_gamma sin(2z^2+3z+1)/(z-pi)dz=2piilim_(z->pi) sin(2z^2+3z+1)=2piisin(2pi^2+3pi+1)~= -5.96648i $
(modo2)
Dopodiché, ho provato a rifare l'integrale utilizzando la definizione
Quindi ho la Parametrizzazione della curva :
$ gamma(t):{ ( x(t)=pi+cost ),( y(t)=sint ):},tin[0,2pi] $
che posso riscrivere come equazione complessa:
$z(t)=pi+cost+isint$
$dz=(-sint+icost)dt$

Otteniamo così che:
$ int_gamma sin(2z^2+3z+1)/(z-pi)dz=$
$int_(0)^(2pi) sin[2(pi+cost+isint)^2+3(pi+cost+isint)+1]/(cost+isint) (-sint+icost) dt$
$~=1.09071*10^-9 -5.96648i $


Domanda: perché (modo1) e (modo2) danno due risultati diversi?
In quale dei due ho sbagliato?

[pilloeffe]

Ciao CallistoBello,

Noto che le parti immaginarie dei due risultati coincidono: il modo 2 mi sa molto di calcolo numerico approssimato di WolframAlpha di un integrale che diversamente sarebbe difficilmente risolvibile, con un valore numerico della parte reale dell'ordine di $10^-9 $, cioè molto vicino a $0$. Per tutto quanto sopra ritengo che il risultato corretto sia immaginario puro e sia quello che hai ottenuto col modo 1.

[CallistoBello]

Si, ho usato la definizione per verificare il risultato.
Ma poi mi sono reso conto che Wolfram dava un risultato in cui figurava anche la parte reale.

In pratica: la parte reale fornita dal SW è dovuta ad una serie di approssimazioni nei calcoli .
Parte reale, che essendo molto piccola , posso trascurare .

Chiaro, grazie mille per la risposta =)