[EX-Analisi funzionale] Addio Weierstrass

[Bremen000]

Propongo il seguente (a mio parere sconvolgente) esercizio di analisi funzionale:

Produrre un esempio di uno spazio normato \( (X, \| \cdot \| ) \) e di una funzione
\[ f: B \to \mathbb{R} \]
continua e non limitata, ove \( B := \overline{ \{ x \in X \mid \| x \| <1 \} } \).


Sugg:

Usare il lemma di Riesz.

EDIT: correzione del testo grazie all’osservazione di otta96 e aggiunto link nel suggerimento.

[otta96]

Cosa intendi con $0$?

[Bremen000]

Eh, hai ragione. Facciamo che metto spazio normato va...

[otta96]

Comunque volendo $X=RR$, $d(x,y)={(1/2, x!=y),(0, x=Y):}=>B=RR$, $f=\text{id}_{RR}$ soddisfa la richiesta.

[Bremen000]

Si in effetti viene banale scritto come prima. Ora dovrebbe funzionare. Grazie!

[otta96]

Non ho idea di cosa sia il lemma d Riesz, quindi faccio a modo mio.

Sia $X=RR[x]$, la norma di $p\inX$ è la norma infinito della restrizione di $p$ a $[0,1]$. Allora $F:B->RR$ definita da $F(p)=p(2)$ dovrebbe soddisfare le ipotesi. Ha immagine illimitata perché $x^n\inB$ e $F(x^n)=2^n$. Non so bene come dimostrare che è continua però sono convinto sia vero.

[Bremen000]

@otta

Ho il sospetto (grosso) che sia lineare...

[otta96]

Hai ragione, è lineare, quindi non funziona.

[otta96]

Uffa però, so dimostrare che funzioni del genere esistono, ma non mi riesce trovare un esempio esplicito, che era come lo volevo fare.

[Bremen000]

Suggerimento espanso:

Prendiamo uno spazio di Banach infinito dimensionale. Grazie al lemma di Riesz è possibile trovare un sottoinsieme numerabile \( \{x_n \}_{n \ge 1} \) di punti di $B$ e una successione \( \{r_n \}_{n \ge 1} \) di raggi tali che le palle chiuse centrate in $x_n$ di raggio $r_n$ siano disgiunte. Non è difficile definire una successioni di funzioni continue supportate solo sulle pallette che valgano al più $n$ su di esse e $0$ al di fuori. La serie di tali funzioni dovrebbe funzionare.

[Bremen000]

Soluzione:

Sia quindi \( ( X, \| \cdot \| ) \) un qualsiasi spazio di Banach infinito dimensionale. Il lemma di Riesz ci fornisce una famiglia di palle aperte centrate in punti \( \{x_n \}_{n \ge 1} \subset B \) e una famiglia di palle disgiunte \( \{ B_n\}_{n \ge 1} \) dove \( B_n := B(x_n , 1/4) \) tutte contenute in $B$.
Per ogni $n \ge 1$ definiamo

\[ f_n : B \to \mathbb{R} \quad \quad x \mapsto \begin{cases} n-8n \|x_n -x \| \quad \quad & \text{ se } \|x-x_n \| < 1/8 \\ 0 \quad \quad & \text{ altrimenti} \end{cases} \]

Allora la funzione

\[ f: B \to \mathbb{R} \quad \quad x \mapsto \sum_n f_n(x) \]

è ben definita, infatti ogni $f_n$ è non nulla solo in un intorno di $x_n$ disgiunto da tutti gli altri intorni ove le altre $f_n$ sono positive. Quindi quella serie, per ogni $x \in B$, in realtà è una somma finita con un solo termine.
E' continua, banalmente se un punto non appartiene ad alcuna delle \( B_n \), allora c'è un suo intorno dove la funzione è costantemente nulla, altrimenti se appartiene a una $B_n$ (e può appartenere solo ad una di esse) esiste un suo intorno in cui $f \equiv f_n$ per un certo $n$. E $f_n$ è banalmente continua.
Infine $f$ è illimitata, infatti
\[ f(x_n) = n \to \infty \]