Continuità di un funzionale non lineare
Buongiorno,
spesso viene chiesto, dato un funzionale lineare , se questo è continuo, e la strada da seguire di solito è mostrare che è "bounded". Nel caso di funzionali non lineari però ovviamente questo non è più sufficiente. La continuità in questo caso si traduce nella sua definizione "classica": dato $T: X \rarr RR$, con $(X, || \cdot ||)$ sp. vett. normato, T si dice continuo se per ogni successione $\{ x_k \}_k \rarr \bar{x}$ si ha che $T(x_k) \rarr T(\bar{x})$.
Un possibile esempio potrebbe essere questo:
Voglio mostrarne la continuità. Sia dunque ${ f_k}_k$ una successione di funzioni continue in $[0,1]$ convergente a $f$ rispetto alla sup-norma. Ovviamente $f$ è pure continua. Quello che va verificato è che $|| T(f_k)(x) - T(f)(x) ||_{\infty} \rarr_k 0$
Per Lagrange si ha che $e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2} =(f_k(x) - f(x)) * -2ce^{-c^2}$, per un $c$ che sta tra $f_k(x)$ e $f(x)$, $x \in [0,1]$. Da cui segue che $|e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2}|<|2c|*|f_k(x) - f(x)|$.
Passando al sup: $ ||e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2} ||_{\infty} < || f_k(x)-f(x)||_{\infty} $ e passando al limite si ha la tesi.
Può andare?
spesso viene chiesto, dato un funzionale lineare , se questo è continuo, e la strada da seguire di solito è mostrare che è "bounded". Nel caso di funzionali non lineari però ovviamente questo non è più sufficiente. La continuità in questo caso si traduce nella sua definizione "classica": dato $T: X \rarr RR$, con $(X, || \cdot ||)$ sp. vett. normato, T si dice continuo se per ogni successione $\{ x_k \}_k \rarr \bar{x}$ si ha che $T(x_k) \rarr T(\bar{x})$.
Un possibile esempio potrebbe essere questo:
$T: (C^{0}[0,1] , || \cdot ||_{\infty}) \rarr (C^{0}[0,1] , || \cdot ||_{\infty})$, definito da $T(f)(x)=e^{-f(x)^2}$.
Voglio mostrarne la continuità. Sia dunque ${ f_k}_k$ una successione di funzioni continue in $[0,1]$ convergente a $f$ rispetto alla sup-norma. Ovviamente $f$ è pure continua. Quello che va verificato è che $|| T(f_k)(x) - T(f)(x) ||_{\infty} \rarr_k 0$
Per Lagrange si ha che $e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2} =(f_k(x) - f(x)) * -2ce^{-c^2}$, per un $c$ che sta tra $f_k(x)$ e $f(x)$, $x \in [0,1]$. Da cui segue che $|e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2}|<|2c|*|f_k(x) - f(x)|$.
Passando al sup: $ ||e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2} ||_{\infty} < || f_k(x)-f(x)||_{\infty} $ e passando al limite si ha la tesi.
Può andare?
Risposte
Ciao feddy!
Penso ci sia un intoppo qua:
Cioè il risultato è giusto, ma devi considerare che $c$ dipende sia da $x\in [0,1]$ che da $k \in \mathbb{N} $. E quindi quando passi al \( \sup \) su $x$ e fai il limite su \( k \) ci potrebbero essere dei problemi.
Non è difficile da sistemare in questo caso, però!
P.S. : il tuo caso non è nemmeno quello di un funzionale ma è proprio un operatore tra spazi di Banach!
Penso ci sia un intoppo qua:
"feddy":
[...]Per Lagrange si ha che $ e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2} =(f_k(x) - f(x)) * -2ce^{-c^2} $, per un $ c $ che sta tra $ f_k(x) $ e $ f(x) $, $ x \in [0,1] $. Da cui segue che $ |e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2}|<|2c|*|f_k(x) - f(x)| $.
Passando al sup: $ ||e^{-f_k(x)^2} - e^{f(x)^2} ||_{\infty} < || f_k(x)-f(x)||_{\infty} $ e passando al limite si ha la tesi.[...]
Cioè il risultato è giusto, ma devi considerare che $c$ dipende sia da $x\in [0,1]$ che da $k \in \mathbb{N} $. E quindi quando passi al \( \sup \) su $x$ e fai il limite su \( k \) ci potrebbero essere dei problemi.
Non è difficile da sistemare in questo caso, però!
P.S. : il tuo caso non è nemmeno quello di un funzionale ma è proprio un operatore tra spazi di Banach!
In questi casi io consiglio sempre di usare il teorema fondamentale del calcolo integrale. Siccome
\[
e^{-y^2} - e^{-z^2} = \int_z^y \frac{d}{du}(e^{-u^2})\, du =-2\int_z^y ue^{-u^2}\,du, \]
si ha
\[
e^{-f_k(x)^2}-e^{-f(x)^2}=-2\int_{f(x)}^{f_k(x)} ue^{-u^2}\, du, \]
e da qui credo proprio tu possa concludere facilmente, seguendo il tuo ragionamento originale.
\[
e^{-y^2} - e^{-z^2} = \int_z^y \frac{d}{du}(e^{-u^2})\, du =-2\int_z^y ue^{-u^2}\,du, \]
si ha
\[
e^{-f_k(x)^2}-e^{-f(x)^2}=-2\int_{f(x)}^{f_k(x)} ue^{-u^2}\, du, \]
e da qui credo proprio tu possa concludere facilmente, seguendo il tuo ragionamento originale.
Ciao ad entrambi !
@Bremen000 hai ragione. Entro stasera posto la correzione.
@dissonance Non c'avevo pensato, anche se l'idea essenzialmente è sempre la stessa. A questo punto posso usare il thm della media integrale e concludere utilizzando la convergenza uniforme di $f_k(x)$ a $f(x)$ !
@Bremen000 hai ragione. Entro stasera posto la correzione.
@dissonance Non c'avevo pensato, anche se l'idea essenzialmente è sempre la stessa. A questo punto posso usare il thm della media integrale e concludere utilizzando la convergenza uniforme di $f_k(x)$ a $f(x)$ !
Esattamente. L'idea è la stessa ma il metodo è migliore. Come vedi, è meno soggetto ad errori, ed è anche più elegante.
"feddy":
teorema della media integrale
Secondo me è ancora più facile così:
\[
\left\lvert-2\int_{f(x)}^{f_k(x)} ue^{-u^2}\, du\right\rvert\le 2\mathrm{max}(\lvert ue^{-u^2}\rvert \ :\ u\in\mathbb R)\lvert f_k(x)-f(x)\rvert.\]
Credo che \(\lvert ue^{-u^2}\rvert \) sia massima per \(u\) intorno a \(1\). Comunque, non è essenziale conoscere la costante di Lipschitz esatta.
Dubbio: ma se la mappa con cui componiamo $f$ non avesse avuto derivata limitata? Non so se così si riesce a far funzionare tutto il macchinario. In quel caso ( e in questo caso anche) credo basti osservare che se $X$ è compatto, \( f \in C(X) \) , \( \{f_n\}_{n \ge 1} \subset C(X) \), \( f_n \to f \) uniformemente e \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) è continua, allora \( g \circ f_n \to g \circ f \) uniformemente.
Certo. Se \(g\) non è Lipschitziana, pure la mappa \(f\mapsto g\circ f\) non è Lipschitziana di \(C(X)\) in \(C(X)\), come è da aspettarsi. In questo caso, però, abbiamo una \(g\) esplicita, e con il metodo di questo post si ottiene pure la costante di Lipschitz della mappa \(g\mapsto g\circ f\). Non solo; questa mappa è continua su \(C_b(\mathbb R)\) (funzioni continue e limitate), non solo su \(C([0, 1])\).
Ma il teorema funziona anche con una funzione uniformemente continua secondo voi?
Si. Però non hai una stima esplicita di \(\|g(f_1)-g(f_2)\|\).
"otta96":
Ma il teorema funziona anche con una funzione uniformemente continua secondo voi?
Non ho capito. Se funziona con una continua....
Certo se funziona per le continue anche per le uniformemente continue.
Mmmm forse ti sei perso questo (mio dio che cosa autoreferenziale)
di fatto nella dimostrazione restringi $g$ ad un opportuno compatto e quindi usi la continuità uniforme in effetti.
"Bremen000":
[...] se $ X $ è compatto, \( f \in C(X) \) , \( \{f_n\}_{n \ge 1} \subset C(X) \), \( f_n \to f \) uniformemente e \( g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) è continua, allora \( g \circ f_n \to g \circ f \) uniformemente.
di fatto nella dimostrazione restringi $g$ ad un opportuno compatto e quindi usi la continuità uniforme in effetti.
Ah si non me ne ero accorto.
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