Calcolo dei coefficienti della serie di Fourier e legame con con la trasformata di Fourier?

[Warioss]

Salve a tutti.

Vi scrivo per dei dubbi in merito allo svolgimento di un esercizio ove si richiede il calcolo dei coefficienti della serie di Fourier di un segnale (ovviamente periodico).

In particolare io so che la trasformata di Fourier definita dalla seguente espressione:
$\int_{-\infty}^{+\infty} g(t) e^{-i 2 \pi f t} dt$
Se calcolata per per una certa frequenza $f$ restituisce il coefficiente relativo all'armonica di frequenza $f$.
Questo è il legame tra la Trasformata di Fourier e la i coefficienti della serie di Fourier, giusto?

Se questo è vero vi posto il seguente esercizio:
https://ibb.co/ZxKwJzR

Io ho osservatore che il segnale periodico è dato dalla replicazione del segnale generatore
$ x(t)_g = e^(-2|t|)$ di periodo $ T_0 = 1 $

Ciò detto per trovarmi i coefficienti della serie di Fourier sono solito

1) Determinare la Trasformata di Fourier di $x(t)_g$
Che risulta $ 1/(pi^2*f^2 + 1) $

2) Valutarla in $ f = k/T_0 = k $ e moltiplicarla per $ 1/T_0 = 1 $
Ottenendo che $ X_k = 1/(pi^2*k^2 + 1) $

IL MIO DUBBIO, però, è se invece avessi voluto calcolare $ X_k $ mediante la definizione di coefficiente della serie di Fourier?

Avrei dovuto calcolare
$ 1/T_0 * int_(T_0) ( x(t) * e^(-i*2*pi*k*t/T_0)) $
$ 2 * int_(0)^(1/2) (e^(2t)*e^(-i*2*pi*k*t)) $
che mi dà come risultato
$ X_k = -(2 (1 - e^(1 - i π k)))/(2 - 2 i π k) $

Ma, come si vede, i due $ X_k $ non coincidono... sapreste dirmi cosa c'è che non va?
Grazie mille in anticipo

[dissonance]

Non va che hai calcolato la trasformata di Fourier di un'altra cosa, non di una funzione periodica.

[Warioss]

"dissonance":Non va che hai calcolato la trasformata di Fourier di un'altra cosa, non di una funzione periodica.

Giusto... io la calcolo prima di $e^(-2|t|)$ che è una funzione tutt'altro che periodica, però poi moltiplicandola per $1/T_0$ e valutandola in $ k/T_0 $ dovrei rispettare il fatto che è una rep di periodo unitario di quel segnale non periodico in partenza, non è così?

[dissonance]

Non aspettare la mia conferma, fai il conto, e poi commentiamo il risultato. Non fa niente se sbagli. Così si impara.

[Quinzio]

Se posso essere d'aiuto...
quello che ti sta dicendo dissonance e' che la tua funzione periodica non e' semplicemente la $e^{-2|t|}$, limitata a $T_0$, ma quella funzione piu' tutte le sue repliche, limitate allo stesso intervallo $T_0$.

[Quinzio]

Ormai ho fatto tutta la dimostrazione, tanto vale metterla qua e la spoilerizzo.
Consiglio comunque di farla da se, in quanto molto istruttiva come dimostrazione, soprattutto a livello ingegneristico, in quanto implica la corretta comprensione dei concetti delle trasformate.

Iniziamo con lo scrivere il segnale e le sue repliche, sommate

$$ \sum_{n=-\infty}^{+\infty} e^{-2|t-n|}$$

Se $t \in [0,1]$

$$ \sum_{n=1}^{+\infty} e^{-2(n-t)} + \sum_{n=-\infty}^{0} e^{-2(t-n)} $$
$$ e^{2t} e^{-2} \sum_{n=0}^{+\infty} e^{-2n} + e^{-2t}\sum_{n=0}^{+\infty} e^{-2n} $$
$$ \frac{e^{2t} e^{-2}+e^{-2t} }{1-e^{-2}} $$

Questo e' il segnale che possiamo immaginare di "limitare" tra 0 e 1 e di considerarlo periodico.

Adesso calcoliamo i coefficienti delle SdF di $e^t$ secondo la formula
\[ c_n = \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t)e^{-2\pi j n t / T} dt \]

$$\int_0^1 e^{2t} e^{-2\pi j n t} dt =\frac{1}{2-2\pi j n} e^{(2-2\pi j n) t} |_0^1 = \frac{e^2-1}{2-2\pi j n} = e^2 \frac{1-e^{-2}}{2-2\pi j n} $$

e di $e^{-t}$

$$\int_0^1 e^{-2t} e^{-2\pi j n t} dt =\frac{1}{-2-2\pi j n} e^{(-2-2\pi j n) t} |_0^1 = \frac{e^{-2}-1}{-2-2\pi j n} = \frac{1-e^{-2}}{2+2\pi j n} $$

Allora abbiamo, ricombinando il tutto, che i coefficienti sono

\[ \frac{1}{2-2\pi j n} + \frac{1}{2+2\pi j n} = \frac{1}{1 + \pi^2n^2} \]

che corrispondono a quanto risulta calcolando gli stessi coefficienti con la Trasformata di Fourier e campionando lo spettro con il "pettine di Dirac", ossia quanto calcolato dall'op.