Svolgere l'integrale con il teorema dei residui
buongiorno a tutti,
vi propongo un integrale (da risolvere con i residui) che non riesco a risolvere.
$\int_{\mathbb{R}}\frac{x^2}{x^4+1} dx$
Le ho provate tutte:
$\int\frac{z^2}{(z^2+i)(z^2-i)}dz\,$ è quel \((z^2\pm i)\) al denominatore che mi mette a disagio.
Ho provato anche per sostituzione per abbassare il grado del denominatore ponendo \(t=x^2\) e ovviamente \(dt=2xdx\) ma non mi viene.
Ho fatto integrali molto più difficili di questo (con poli al secondo ordine e chi più ne ha più ne metta), ma questo non mi va giù.
Ho addirittura calcolato le radici di \(z^4+1\) preso da un raptus di isteria.
Potete aiutarmi per favore?
vi propongo un integrale (da risolvere con i residui) che non riesco a risolvere.
$\int_{\mathbb{R}}\frac{x^2}{x^4+1} dx$
Le ho provate tutte:
$\int\frac{z^2}{(z^2+i)(z^2-i)}dz\,$ è quel \((z^2\pm i)\) al denominatore che mi mette a disagio.
Ho provato anche per sostituzione per abbassare il grado del denominatore ponendo \(t=x^2\) e ovviamente \(dt=2xdx\) ma non mi viene.
Ho fatto integrali molto più difficili di questo (con poli al secondo ordine e chi più ne ha più ne metta), ma questo non mi va giù.
Ho addirittura calcolato le radici di \(z^4+1\) preso da un raptus di isteria.
Potete aiutarmi per favore?
Risposte
La scomposizione in fratti semplici porta a questa scrittura:
$(z^2)/(z^4+1) = 1/2(1/(z^2-i) + 1/(z^2+i)) = 1/(4) [e^{-i\pi / 4}((1)/(z - e^{1/4 i\pi}) + (-1)/(z + e^{1/4 i\pi}))+e^{-3/4 i\pi } ((1)/(z - e^{3/4 i\pi}) + (-1)/(z + e^{3/4 i\pi})) ]$
Ora individuiamo due percorsi sul piano complesso:
il primo parte da $-oo$ sulla retta reale, va a $+oo$ e si chiude con un semicerchio all'infinito sul semipiano superiore; stessa cosa per il secondo ma si chiude a semicerchio sul semipiano inferiore.
Ora la somma dei residui nel semipiano sup. e'
$1/4 ( e^{-i\pi / 4} + e^{-i\pi 3/ 4}) = -i / (2sqrt(2)) $
Quindi
$\int_{-oo}^{+oo} z^2/(z^4+1) dz = 2\pi i (-i) / (2sqrt(2)) = \pi / sqrt(2)$
Da confrontare, volendo, con
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... o+to+%2Boo
Per motivi di simmetria l'altro percorso da un risultato uguale.
$(z^2)/(z^4+1) = 1/2(1/(z^2-i) + 1/(z^2+i)) = 1/(4) [e^{-i\pi / 4}((1)/(z - e^{1/4 i\pi}) + (-1)/(z + e^{1/4 i\pi}))+e^{-3/4 i\pi } ((1)/(z - e^{3/4 i\pi}) + (-1)/(z + e^{3/4 i\pi})) ]$
Ora individuiamo due percorsi sul piano complesso:
il primo parte da $-oo$ sulla retta reale, va a $+oo$ e si chiude con un semicerchio all'infinito sul semipiano superiore; stessa cosa per il secondo ma si chiude a semicerchio sul semipiano inferiore.
Ora la somma dei residui nel semipiano sup. e'
$1/4 ( e^{-i\pi / 4} + e^{-i\pi 3/ 4}) = -i / (2sqrt(2)) $
Quindi
$\int_{-oo}^{+oo} z^2/(z^4+1) dz = 2\pi i (-i) / (2sqrt(2)) = \pi / sqrt(2)$
Da confrontare, volendo, con
https://www.wolframalpha.com/input/?i=i ... o+to+%2Boo
Per motivi di simmetria l'altro percorso da un risultato uguale.
grazie per il tuo tempo e il tuo impegno!
Non ci sarei mai arrivato... ho capito i tuoi passaggi (forse), ma se il giorno dell'esame mi dovesse capitare una cosa simile non sono sicuro di saper fare un conto del genere
Non ci sarei mai arrivato... ho capito i tuoi passaggi (forse), ma se il giorno dell'esame mi dovesse capitare una cosa simile non sono sicuro di saper fare un conto del genere
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