Calcola l'integrale usando il teorema dei residui
Buongiorno,
due giorni che sbatto la testa su questo integrale, wolfram e la logica mi dicono che sbaglio. Ma quando vado a controllare passaggio per passaggio i conti sono giusti.
Facendo uso del teorema dei residui calcolare il seguente integrale.
$\int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} dx$
allora prima cosa che faccio è riscrivere il seno con le formule di Eulero.
$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\rightarrow \sin^2 x=(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^2=-\frac{1}{4}(e^{i2x}+e^{-2ix}-2)$
$z=e^{i2x}\rightarrow dz=i2e^{i2x}dx\rightarrow dx=\frac{1}{2iz}dz\quadd$ quindi:
$-\frac{1}{4}(e^{i2x}+e^{-2ix}-2)=-\frac{1}{4}(z+\frac{1}{z]-2)$
$\int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} dx=\int \frac{1}{1-\frac{1}{4}(z+\frac{1}{z]-2)}*\frac{1}{2iz}dz=\frac{1}{i}\int\frac{1}{2z-\frac{1}{2}(z^2+1-2z)} dz=\frac{2}{i}\int\frac{1}{4z-(z^2+1-2z)} dz=\frac{2}{i}\int\frac{1}{-z^2+6z-1} dz=\frac{2}{i}\int\frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)} dz$
con $z_1=3-\sqrt{2} ;\quad z_2=3+\sqrt{2}$.
quindi mi pongo sulla circonferenza $\gamma$ percorsa in senso antiorario, centro nell'origine e che abbia un raggio sufficientemente grande per contenere $z_1$. Calcolo $Res(f(z), z_1)$:
$Res(f(z), z_1)=\lim_{z->z_1} (z-z_1)\frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}=\frac{1}{3-2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}}=\frac{1}{-4\sqrt{2}}$
quindi:
$\int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} dx=\frac{2}{i}\int_{\gamma}\frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)} dz=\frac{2}{i}(2\pi i)(\frac{1}{-4\sqrt{2}})=-\frac{\pi}{\sqrt{2}}$
mentre wolfram dice che deve venire $\pi\sqrt{2}$ e anche il fatto che mi venga un valore negativo mi sembra che sia sbagliato. Dove sbaglio?
grazie in anticipo!
due giorni che sbatto la testa su questo integrale, wolfram e la logica mi dicono che sbaglio. Ma quando vado a controllare passaggio per passaggio i conti sono giusti.
Facendo uso del teorema dei residui calcolare il seguente integrale.
$\int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} dx$
allora prima cosa che faccio è riscrivere il seno con le formule di Eulero.
$\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\rightarrow \sin^2 x=(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^2=-\frac{1}{4}(e^{i2x}+e^{-2ix}-2)$
$z=e^{i2x}\rightarrow dz=i2e^{i2x}dx\rightarrow dx=\frac{1}{2iz}dz\quadd$ quindi:
$-\frac{1}{4}(e^{i2x}+e^{-2ix}-2)=-\frac{1}{4}(z+\frac{1}{z]-2)$
$\int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} dx=\int \frac{1}{1-\frac{1}{4}(z+\frac{1}{z]-2)}*\frac{1}{2iz}dz=\frac{1}{i}\int\frac{1}{2z-\frac{1}{2}(z^2+1-2z)} dz=\frac{2}{i}\int\frac{1}{4z-(z^2+1-2z)} dz=\frac{2}{i}\int\frac{1}{-z^2+6z-1} dz=\frac{2}{i}\int\frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)} dz$
con $z_1=3-\sqrt{2} ;\quad z_2=3+\sqrt{2}$.
quindi mi pongo sulla circonferenza $\gamma$ percorsa in senso antiorario, centro nell'origine e che abbia un raggio sufficientemente grande per contenere $z_1$. Calcolo $Res(f(z), z_1)$:
$Res(f(z), z_1)=\lim_{z->z_1} (z-z_1)\frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)}=\frac{1}{3-2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}}=\frac{1}{-4\sqrt{2}}$
quindi:
$\int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} dx=\frac{2}{i}\int_{\gamma}\frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)} dz=\frac{2}{i}(2\pi i)(\frac{1}{-4\sqrt{2}})=-\frac{\pi}{\sqrt{2}}$
mentre wolfram dice che deve venire $\pi\sqrt{2}$ e anche il fatto che mi venga un valore negativo mi sembra che sia sbagliato. Dove sbaglio?
grazie in anticipo!
Risposte
Ciao leomagicabula,
Per quanto mi secchi ammetterlo mi sa che ha ragione WolframAlpha...
Attenzione che si ha $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2) $
"leomagicabula":
mentre wolfram dice che deve venire $\pi\sqrt{2}$ e anche il fatto che mi venga un valore negativo mi sembra che sia sbagliato.
Per quanto mi secchi ammetterlo mi sa che ha ragione WolframAlpha...
Attenzione che si ha $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2) $
"pilloeffe":
Ciao leomagicabula,
[quote="leomagicabula"]mentre wolfram dice che deve venire $\pi\sqrt{2}$ e anche il fatto che mi venga un valore negativo mi sembra che sia sbagliato.
Per quanto mi secchi ammetterlo mi sa che ha ragione WolframAlpha...
Attenzione che si ha $az^2 + bz + c = a(z - z_1)(z - z_2) $[/quote]
ok, mi sono perso un meno, i residui vengono positivi ma il risultato continua ad essere $\pi/\sqrt{2}$ e non $\pi\sqrt{2}$.
A me risulta
$z_1 = 3 - 2\sqrt{2} $
$z_2 = 3 + 2\sqrt{2} $
E perché non hai calcolato $Res[f(z); z_2]$ ?
$z_1 = 3 - 2\sqrt{2} $
$z_2 = 3 + 2\sqrt{2} $
E perché non hai calcolato $Res[f(z); z_2]$ ?
"pilloeffe":
A me risulta
$z_1 = 3 - 2\sqrt{2} $
$z_2 = 3 + 2\sqrt{2} $
è un refuso mio, infatti nei conti ho messo i $2$ mancanti.
"pilloeffe":
E perché non hai calcolato $Res[f(z); z_2]$ ?
il $Res(f(z),z_2)= \frac{\sqrt{2}}{8}$ lo avevo calcolato. ma non l'ho scritto qui.
ma continua a non venire.
Prima di imbarcarmi a fare contazzi, io osserverei che:
$ \int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} text( d)x = int_0^(2pi) 2/(3 - cos(2x)) text( d) x = int_0^(4 pi) 1/(3 - cos y) text( d) y$
cosicché le sostituzioni di Eulero ed il teorema dei residui generalizzato portano a dire che l’integrale da calcolare è il doppio di un opportuno integrale sulla circonferenza unitaria del piano complesso.
$ \int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} text( d)x = int_0^(2pi) 2/(3 - cos(2x)) text( d) x = int_0^(4 pi) 1/(3 - cos y) text( d) y$
cosicché le sostituzioni di Eulero ed il teorema dei residui generalizzato portano a dire che l’integrale da calcolare è il doppio di un opportuno integrale sulla circonferenza unitaria del piano complesso.
"gugo82":
Prima di imbarcarmi a fare contazzi, io osserverei che:
$ \int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} text( d)x = int_0^(2pi) 2/(3 - cos(2x)) text( d) x = int_0^(4 pi) 1/(3 - cos y) text( d) y$
cosicché le sostituzioni di Eulero ed il teorema dei residui generalizzato portano a dire che l’integrale da calcolare è il doppio di un opportuno integrale sulla circonferenza unitaria del piano complesso.
Non lo so.... mi sembra strano che debba fare certe trasformazioni...
Sì, ok, forse non è necessario (“dovere” in Matematica è un verbo che si usa raramente)… Ma ragionare per semplificare il problema prima di mettersi a fare barche di conti è sempre consigliabile.
"leomagicabula":
ma continua a non venire.
Perché dici che continua a non venire?
Dato che $z = e^{i2x} $, quando $x $ varia fra $0 $ e $2\pi $ la variabile $z$ percorre due volte il cerchio unitario $|z| = 1 $ all'interno del quale c'è solo $z_1 = 3 - 2\sqrt{2} $ avente residuo $Res[f(z), z_1] = 1/(- 4sqrt{2}) $, per cui si ha:
$\int_0^{2\pi} \frac{1}{1+\sin^2(x)} \text{d}x = - 2 \frac{2}{i}\int_{|z| = 1} \frac{1}{(z-z_1)(z-z_2)} \text{d}z= - 2 \frac{2}{i}(2\pi i) Res[f(z), z_1] = $
$ = - 8 \pi \cdot [\frac{1}{-4\sqrt{2}}] = \sqrt{2} \pi $
"pilloeffe":
[quote="leomagicabula"]ma continua a non venire.
Perché dici che continua a non venire?
[/quote]
Buongiorno! perché mi ero perso un meno come mi avevi fatto notare e da bravo pirla non mi ero accorto che $z=e^{i2x}$ percorre DUE volte il cerchio unitario. Quindi unendo queste due cose le cose tornano!!!!!!!
Grazie mille!!!
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